Отыскание оригинала по изображению

Таблица изображений

№	f(t) при t>0	F(p)	№	f(t) при t>0	F(p)
				t cos at
				t sin at
	eat
	cos at
	sin at
	ezt cos at
	ezt sin at
	eat

Если изображение является дробно-рациональной функцией F(p) = и m < n ,то многочлен знаменателя представим в виде произ-ведения линейных множителей = .Корни многочлена p_i могут быть действительными числами, комплексными числами и кратными. Комплексные корни входят сопряженными парами и приводят к трехчленам типа ( p² + p + ). В результате F(p) представ-ляется в виде суммы элементарных дробей типа , (метод неопределенных коэффициентов). Комбинируя эти дроби, можно пытаться построить изображения основных элементарных функций и затем по таблице восстановить оригинал.

Пр. 10 Найти оригинал функции F(p) = .

= = + ½=:e^tcos 2t + ½ e^tsin 2t

Пр. 11 Найти оригинал функции F(p) = .

= = + = =

p² | A + B = 0

p¹ | 2A – 2B + C = 0 A = 1/12 , B = -1/12 , C = - 1/3

p⁰ | 4A – 2C = 1

= - = -

Из формул № 3, 6, 7 оригинал f(t) =e^2t - e^-t (cos t+sin t) .

 

Если в F(p) только простые нули : = ,то разложение изображения упрощается

F(p) = , где ( 6 )

Пр.12 Найти оригинал функции F(p) =

Вычисляем производную от знаменателя = [ p(p – 1)(p – 2)(p – 3) ]` =

= (p – 1)(p – 2)(p – 3) + p(p – 2)(p – 3) + p(p – 1)(p – 3) + p(p – 1)(p – 2),

 

находим её значения в нулевых точках v₄`(0) = - 6 , v<sub>4</sub>`(1) = 2 , v₄`(2) = - 2 , v<sub>4</sub>`(3) = 6 , определяем коэффициенты A₀ = - 1/6 , A₁ = 1, A₂ = - 3/2, A₃ = 2/3

и по формуле ( 6 ) расписываем разложение изображения на простые дроби

F(p) = =: + - + .

Если F(p) разлагается в сходящийся ряд

F(p) = + + + . . . + + . . . ,

то его оригинал находится по формуле

f(t) = + + + . . . + + . . .

Этот ряд сходится при всех значениях t .

 

Пр.13 Найти оригинал функции F(p) = .

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии

== - + - . . . Этот ряд сходится при |p| > 1

По формуле № 2 получаем оригинал f(t)= - + - + . . .