Жиілікті модульдеу 2 страница
Ақпарат бірліктерін кластарға жіктеу және олардың негізгі қасиеттері
Ақпараттың негізгі екі бірлігі бар – атрибут және ақпараттың құрама бірлігі. Атрибут программалау тіліндегі айнымалы мен бухгалтерлік есептегі реквизит ұғымдарына сәйкес келеді.
Атрибут атаумен және мәнмен сипатталады. Атрибут аты деп деректерді өңдеу процесіндегі оның шартты белгілеуін атайды.
Атрибут мәні деп объектінің, құбылыстың, нақты жағдайлардағы процестің кейбір қасиеттерін сипаттайтын шаманы атайды. Атрибуттың мүмкін болатын барлық мәндері осы атрибуттың домені деп аталатын көпшені құрайды.
Х атты атрибут (X,z) деген парадан тұрады, мұнда z – Z элементі. Z көпшесі мәннің домені деп аталады (Х атрибутын анықтау облысы), z мәні берілген уақыт аралығында Х атрибутының мәні.
Доменді анықтау оның аты мен мән тізімін көрсетуді талап етеді. Егер домендегі мән саны үлкен болмаса, онда олардың тізімін программада деректерді белгілеу арқылы көрсетуге болады. Мысалы Паскаль программалау тілінде ол былай жазылады:
type
day 1…31;
month = (январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь);
year = 1900...1999;
(атрибут типін сипаттау кезінде Күн, Ай және Жыл атрибуттарының мүмкін болатын мәні есептелінеді).
Доменнің барлық элементтерін толық сипаттау мүмкін емес, сондықтанда домен үшін мәннің типі мен ұзындығы көрсетіледі. Текстік (символдық), сандық, логикалық мәндер, сонымен қатар дата мәндері мен мәннің арнайы типтері қолданылады.
Мысал.
Фамилия домені – FАМ деп алайық. Фамилия деп толық жазу мүмкін емес, сондықтанда FАМ мәні текстік типтің ұзындығын 20 символға дейін қысқартамыз. Паскаль тілі үшін былай болады:
var FAM: string[20];
Осындай түрде анықталған доменде фамилия емес, басқа да сөздер болуы мүмкін, мысалы «ММММ», бірақ мұндай кездер доменді анықтау кезінде ескерілмейді.
Кластарға жіктеу және кодтау
Деректер базасында объектілерді белгілеу үшін қолданылатын кластарға жіктеу және кодтаудың қарапайым жүйесін қарастырайық.
Алдымен, объектерді кластарға жіктеу талап етілмесе, онда олар номерленеді, әрбір объектінің коды болып олардың реттік номері табылады. Кодтаудың бұндай жүйесі реттік деп аталады.
Егер объектінің барлық көпшелері бір белгі бойынша кластарға жіктелсе, онда объект кодтарын әрбір серия ішінде тізбектелген номерлерді қолданып, осы белгі мәнінің саны бойынша бірнеше бөліктерге бөлу керек.
Бірнеше кластарға жіктелген белгілер қолданған кезде, олардың өзара бағыныштылығы бөлінген объект класына сәйкес келеді, бұндай кезде кодтаудың разрядты жүйесін қолданған қолайлы.
Мысал ретінде Студент коды деген атрибут мәнін әртүрлі кодтау жүйесімен кодтайық. Студенттің реттік коды – бұл барлық студенттердің тізіміндегі оның номері. Кодтаудың сериялық жүйесін қолдана отырып күндізгі, кешкі және сыртқы оқу бөліміндегі студенттер деп бөлу керек. Бұл үшін 1-ден 5999-ға дейінгі сандар тізбегін күндізгі оқу бөліміндегі студенттерді кодтау үшін, 6000-нан 7999-ға дейінгі сандар тізбегін кешкі бөлім студенттерін, 8000-нан 9999-ға дейінгі сандар тізбегін сыртқы бөлім студенттерін кодтау үшін қолданамыз. Егер осындай шарт кезінде разрядты кодты қолданатын болсақ, онда кодтың бірінші белгісі үш мәнге ие болады (1 – күндізгі оқу бөлімі, 2 – кешкі, 3 – сыртқы), ал қалған төрт белгі әрбір бөлімнің студенттерін номерлеу үшін қажет. Разрядтық кодта көп белгілерді қолдануға болады, бірінші таңба – бөлім коды, екінші факультет, үшінші – курс коды, төртінші – группа коды, бесінші және алтынша – группадағы студенттің реттік номері. Кодта ажырату белгілерінің саны артқан сайын Студент коды атрибут мәнінің ұзындығы да арта түседі.
Кодтаудың разрядтық жүйесі бірнеше бағынышты белгілерімен анықталатын объектілерді кодтау үшін қолданылады. Кодталатын объектілер кластарға жіктеудің әрбір сатысында кластарға жіктелу белгісі бойынша жүйеленеді. Кластарға жіктелетін әрбір белгіге белгілі бір разряд саны беріледі, бұл жерде кодтау бірден басталады. Кіші белгілері бойынша кластарға жіктелу топтары белгісі үлкен кодқа байланысты кодталады.
Егер бірнеше атрибуттардың мәндері бір доменде анықталған болса, онда мұндай атрибуттарды рольдік деп атайды.
FАМ доменінде мынадай аты бар атрибуттар анықталуы мүмкін: Студент, Оқытушы, Автор. Осының барлығы рольдік атрибуттар.
Жұмысшының фамилиясы және Жұмысшының табельдік номері деген атрибуттар рольдік емес.
Мән домені деректер базасында ақпараттық объект ретінде сақталмайды. Бірақ деректер базасындағы доменнің рольдік атрибуттары арасында мәндерінің толық тізімі бар атрибуттар да кездеседі, және бұл атрибутты қайтадан енгізілетін ақпараттың ақиқаттылығын бақылау үшін қолдану қажет. Мысалы, кәсіпорындарда қызметкерлердің толық тізімі кадрлар бөлімінің деректер базасында сақталу қажет.
Ақпараттың құрама бірлігі (АҚБ) деп атрибуттардың, тіпті басқа АҚБ жиынтығын атайды. АҚБ анықтамасы рекурсивті, (яғни ұғым анықтамасында ұғымның өзі бар), бірақ бұлжерде қарама-қайшылық жоқ, себебі «басқа АҚБ» уақыты келгенде тек атрибуттардан тұратын болады.
Атрибут пен қатынас мүмкін болатын ақпарат бірлігінің жиынын түзеді. Іс-жүзінде ақпарат бірлігінің үлкен санын қолданған ыңғайлы, ол 1.2 кестеде көрсетілген. ДБ тұтастай алғанда ақпарат бірлігі болып табылады. Егер ақпарат бірліктерін ақпарат объектілері ретінде қарастыратын болсақ, онда олардың қасиеті туралы 1.2 кестеде көрсетілгендей атауға болады. Ақпарат бірлігінің қасиеттері 1.2 кестеде көрсетілген.
Кесте 1.2 Ақпарат бірлігінің қасиеттері
| Қасиет атауы | Атрибут | Ақпараттың құрама бірлігі | |||
| Қолданушы | Жобалаушы | ||||
| Құжат | Көрсеткіш | Қатынас | Веерлік қатынас | ||
| Аты | + | + | + | + | + |
| Мәні | + | + | + | + | + |
| Құрылымы | - | + | + | + | + |
| Атқарылатын операция Атпен | Атын ауыстыру, синоним қолдану | ||||
| Мәнмен | қайта кодтау | Іріктеу, жөндеу | |||
| Арифметикалық операциялар | |||||
| Құрылыммен | - | Декомпозиция, Композиция, Нормализация, орау (свертка) | - | Проекция, қосылыс, атрибуттар қосу | Атрибуттар-ды қосу/ алып тастау |
| Шектеу | Доменге тиістілік | Функционалды тәуелділік | |||
| Мәндерді ұйымдастыру тәсілдері | - | Тізбектелген | Тізбектелген, индекстелген, тура, ағаш тәрізді, торлы |
Сонымен қатар ақпарат бірліктері – бұл физикалық емес объектілер, себебі олар кеңістікте орын алмайды.
Атрибуттар көпшесі бір АҚБ-нің келесі шарттары бойынша бірігеді:
· сәйкес келетін атрибуттар бірдей факт пен экономикалық процессті сипаттайды;
· АҚБ енетін атрибуттар мәні бір уақытта пайда болып, логикалық немесе арифметикалық қатынастармен байланысқан.
АҚБ қарапайым сипаттамасы болып ат, құрылым және мән табылады. АҚБ аты – ақпаратты өңдеу процесі кезінде оны шартты белгіленуі. АҚБ құрылымы деп бір ақпарат бірлігінің басқа ақпарат бірлігінің құрамына енуді атайды.
АҚБ аппараты экономикалық құжаттардың құрылымын сипаттауға арналған. Құжат деп заңды күші бар және бекітілген тәртіпте мағлұматтан тұратын ақпаратты материалдық тасығышты (қағаз бланк) атайды.
АҚБ құрылымын сипаттаудың бірнеше тәсілдері бар. Нақты программалау тілдеріне және ДББЖ тәуелсіз АҚБ сипаттау үшін АҚБ атынан кейін оған кіретін атрибуттар тізімін көрсету жеткілікті. Тізімді жақшаға алып, ал жақша ішіндегі аттарды үтір арқылы жазып шығамыз. АҚБ аты көлемін жазу арқылы көрсетілуі мүмкін, яғни осы АҚБ мәнінің құрылымы бойынша сандары бірдейлерді көрсету арқылы. Егер көлемі 1-ге тең болмаса, онда ол жақша ішінде АҚБ атынан кейін көрсетіліп жазылады.
Атрибут құрамы қысқартылған «Приходный ордер» (Кіріс ордері) құжатын мысал ретінде қарастырайық (сурет 1.5). Прих деп аталған приходный ордердің АҚБ Дата атрибутынан (материалдың келіп түскен күні), Пост атрибутынан (материалды әкелушінің коды), басқада атрибуттардан құралатын Склад және кесте атрибуттарынан тұрады. Экономикалық құжаттарда кестелердің аты болмайды, құжаттағы барлық элементтердің атауы оны машиналық өңдеу кезінде ғана қажет етіледі.
Табл АҚБ Ннм (материалдың номенклатуралық номері), Кво-док (товарно-транспортной накладной бойынша қабылданған материал саны), Кво-пр (складқа қабылданған материал саны), Цена (материал бағасы), Сумма (Кво-пр және Цена мәндерінің көбейтіндісі) деген атрибуттардан құралады. Табл АҚБ үштік көлемі приходный ордер кестесіндегі үш жолға сәйкес келеді, Прих АҚБ екілік көлемі біздің мысалдағы екі құжаттың бар болуымен анықталады.
Приходный ордер АҚб нақты құрылымы былай болады: Прих(2). (Дата,Пост,Склад,Табл(3).(Ннм,Кво-док,Кво-пр,Цена,Сумма)).
Сурет 1.5 «Приходный ордер» құжатының бланкілері
АҚБ құрылымына енетін ақпарат бірлігінің мәніне сүйене отырып АҚБ мәніне анықтама беруге болады. АҚБ-не енетін атрибут мәні тікелей анықталады. Басқа АҚБ-не енетін АҚБ-нің мәнін рекурсивті анықтауға болады, бірақ ол кезде АҚБ көлемін білу қажет. Сонымен қатар басқа АҚБ құрамындағы АҚБ көпше мәні үшін жеке анықтама қажет. АҚБ жиыны деп жоғары деңгейдегі АҚБ құрамындағы мәндер көпшесін атаймыз. Жиындағы мәндер саны оның көлеміне тең.
АҚБ мәні деп оған тікелей енетін атрибуттар мәні мен АҚБ тікелей енетін жиындарды атаймыз. Приходный ордерінің АҚБ-інің бір мәні Дата, Пост, Склад, Табл АҚБ бір жиын атрибуттарынан тұрады. Табл жиыны үш мәннен тұрады, әрбір Табл мәніне Ннм, Кво-док, Кво-пр, Цена және Сумма деген атрибуттардың бір мәні кіреді.
АҚБ бір мәнін ЭЕМ жадында сақтау кезінде оны жазба деп атайды.
Ақпарат бірлігінің атын өзгерту деп оған жаңа ат беруді атайды, синонимді анықтау – ақпарат бірлігі үшін екінші, үшінші және т.б. тең келетін аттарды белгілеу.
Атрибут мәнімен операция деп – қайта кодтау, яғни барлық мәндер үшін ескі кодты жаңа кодка айырбастау.
Іріктеу – алдын-ала қойылған іріктеу шартын қанағаттандыратын АҚБ мәндерінің көпшесін бөлу операциясы.
Корректировка төмендегі операцияның біреуінің орындалуын білдіреді:
· АҚБ жаңа мәннің қосылуы;
· АҚБ мәнін алып тастау;
· АҚб кейбір мәндерін жаңа мәндерге ауыстыру.
Декомпозиция – бастапқы АҚБ-нің әртүрлі құрылымды бірнеше АҚБ-не түрлену операциясы. Приходный ордердің декомпозициясы екі АҚБ келтіруі мүмкін:
Цены(Ннм, Цена)
Приход(Дата,Пост,Склад,Ннм,Кво-док,Кво-пр,Сумма)
АҚБ-нің құрылымымен жасалатын барлық операциялар сияқты декомпозиция да мәндер көпшесінің бір уақытта түрленуіне әкеледі, негізінде Цена және Приход АҚБ-нің көлемін бірден анықтау мүмкін емес.
Композиция - әртүрлі құрылымды АҚб-нің бір АҚБ-не түрлену операциясы. Декомпозиция мен композиция өзарақайтарылатын операциялар болып жатады, біздің мысалда цена және Приход композициясы Приходты береді.
Нормализация – кез-келген құрылымды АҚБ-нің екі деңгейлік құрылымға өту операциясы. АҚБ мәндерінің қайта жинақтау бір уақытта орындалады.
Приходный ордерді нормализациялаукелесі нәтижеге алып келеді:
| Дата | Пост | Склад | Ннм | Кво-док | Кво-пр | Цена | Сумма |
| 01.10.95 | 5,00 | 80,00 | |||||
| 01.10.95 | 6,00 | 48,00 | |||||
| 07.10.95 | 6,00 | 60,10 | |||||
| 07.10.95 | 8,00 | 64,00 | |||||
| 07.10.95 | 5,00 | 25,00 |
Свертка (Түйіншек) – екі деңгейлі құрылымды АҚБ-нің көпдеңгейлі құрылымды АҚБ-не түрлену операциясы. Бірыңғайланған приходный ордер сверткасы, сонымен қатар экономикалық мағынаға ие қалыптаспаған мысалы, «карточка складского учета» құжаттары да бастапқы құрылымға келтірілуі мүмкін (сурет 1.6).
Сурет 1.6 Қоймаға тіркеу карточкасы (Карточка складского учета)
Экономикалық көрсеткіштер
Экономикалық құжаттарды талдау кезінде құжаттарды көрсеткіштер деп аталатын фрагментке жіктеу мәселесі қойылады. Бұл әртүрлі құжаттар арасында мағынасы бір байланыстарды орнатуға, ақпарат бірлігін қолданатын барлық қолданушыларға бірдей түсінікке ие болуды қамтамасыз етуге, алынған нәтижелерді деректер базасының құрылымын анықтау үшін қолдануға мүмкіндік береді.
Көрсеткіш кейбір процесс пен объектіні кескіндейтін толық сандық параметр сипаты. Кез-келген қасиетке сай сипаттама атомарлы факт деп аталады.
Көрсеткішті түзетінатрибуттарды дәлірек сипаттау үшін атрибуттар арқылы кескінделетін қасиеттердің айырмашылығын атап өту керек. Материалдық процесстер сапалық және сандық сипатқа ие. Осыған сәйкес атрибуттар да екі класқа бөлінуі қажет, олар «атрибут-белгі» және «атрибут-негіз».
«Атрибут-белгі» кейбір объектінің, заттың, процестің сапалық қасиетінің ақпараттық кескінін білдірсе, негіз сандық қасиетінің кескіні болып табылады.
Көрсеткіштің құрамына бір атрибут-негіз және негіздің бар болу шартын сипататйтын бірнеше атрибут-белгілер енеді.
Ақпарат бірлігі ретіндегі көрсеткіш АҚБ-нің өзге түрі болып табылады. П көрсеткіштің схемалық құрылымы мына өрнектермен көрсетіледі:
П(Р1,Р2,...,Pk,Q)
Мұнда Р1,Р2,...,Pk - атрибут-белгілер, Q – атрибут-негіз.
Егер көрсеткіш ек атрибут-негізден құралатын болса, онда көрсеткішті әрқайсысында болатындай және оның белгілерін сипаттайтын атрибут-негізді екі бөлікке бөлеміз. Алынған бөлімдер аз атрибуттан тұрады, сондықтанда көрсеткіш анықтамасынна сәйкес келеді.
Көрсеткіштерде объектілер мен процесстердің сандық қасиеттері кескінделеді. Сонымен қатар атрибут-негізден тұрмайтын құжаттар да болдаы, мысалы, кадрлық есеп анкеталары, кәсіпорын бөлімшелерінің құрылымы туралы мәліметтер және т.б. Сондықтанда, барлық экономикалық ақпарат көрсеткіштер формасында бола бермейді.
Көрсеткіш атрибуттарының шағын жиыны мыналардан тұру қажет:
· объект идентификаторын кескіндейтін атрибуттар;
· уақыт белгісін кескіндейтін атрибуттар;
· объектің немесе өзара байланыстың кейбір сандық қасиетін кескіндейтін атрибут.
Нақты құжаттарда белгілер мен негіздерді анықтау үшін келесі заңдылықтарды қолданған жөн:
1. Егер атрибут мәні бастапқы деректер немесе арифметикалық операцияның нәтижесі болса, онда бұл белгі.
2. Егер мән текстік болса, онда бұл белгі.
3. Егер атрибут затты білдірсе, онда бұл белгі.
4. Егер атрибут кейбір көрсеткіште белгі (негіз) болып табылса, онда ол бұл рольді басқа көрсеткіштерде де атқарады.
5. Егер көрсеткіштер ұқсас процесстерді сипаттайтын болса, онда олардың белгілік бөлімдері сәйкес келеді.
6. Егер көрсеткіштің негізі басқа негіздердің мәнлері арқылы есептелінсе, онда бұндай көрсеткіштің белгілер жинағы осы негіздермен байланысқан белгілер қосылысы болып табылады.
Деректер базасын құру сапасының критерийі болып сақталатын ақпараттың қысқа көлемде көп (мол) болуы табылады. Әдетте қысқа көлемде көп (мол) болу мына шартпен сипатталады: әрбір мағлұмат ДБ бір-ақ рет сақталады. Осы шартты сақтау бірнеше ерекшеліктерді береді:
· деректер базасын сақтау үшін қажет ЭЕМ жадының көлемі қысқарады;
· ЭЕМ-ге деректерді енгізу қиындығы қысқарады және енгізілетін ақпараттың дұрыстығын бақылау мәселелері оңайлайды;
· деректерді түзету алгоритмдерді оңайлатылады, себебі мағлұматтарды түзету деректер базасына бір рет қарау кезінде жүргізілуі мүмкін.
Егер алдымен ЭАЖ-сін айналып жүретін барлық мағлұматтарды мүшелеп, ұқсас көрсеткіштр атрибуттарын мына шартпен: бір файлға құрамы бірдей атрибут-белгілері бар экономикалық көрсеткіштер тобы енгізіледідеп біріктірсе,онда экономикалық көрсеткіштер аппаратын қолдану қысқа көлемде көп ДБ құрылымын құруға мүмкіндік береді.
Мысал
«Приходный ордер» құжатының атрибуттары
| Дата | Кмат – материал коды | Цена |
| Склад | Кво-док құжат бойынша саны | Сумма |
| Пост-код поставщика | Кво-пр – қабылданғандар саны |
Атрибут-негіз болып Кво-док, Кво-пр және Сумма табылады, олар складқа материалдарды кірістіру процесінің сандық сипаттамасын білідерді. Біздің құжатта әрқайсысында бір атрибуттан тұратын төрт көрсеткіш бар. Әрбір көрсеткіштің құрылымын анықтау сәйкес келетін негіз үшін атрибут-негізді анықтаумен байланысты.
Кво-док негізіне қажет белгілер болып Кмат (материлдар саны), Склад және Пост (склад нақты жабдықтаушыдан материалдар қабылдап алады) және Дата (уақытта көрсету қажет). Нәтижесінде көрсеткіш құрылымы (оны П1 деп атаймыз) мынандай болады:
П1 (Кмат, Склад, Пост, Дата, Кво-док)
Негізі Кво-пр болатын П2 көрсеткішін қарастыру кезінде 5-ереені қолдануға болады (Кво-док және Кво-пр негіздері ұқсас процесстерді сипаттайды), нәтижесінде:
П2 (Кмат, Склад, Пост, Дата, Кво-пр)
Негізі Цена болатын П3 көрсеткіші үшін баға жабдықтаушы-мекеме материалдарының бағасына байланысты ма, әлде олар үнемі тұрақты екендігін анықтау қажет. Егер баға тұрақты болса, онда
П3 (Кмат, Цена)
П4 көрсеткішіндегі Сумма есептеудің нәтижесі болып табылады:
Сумма = Кво-пр*Цена
Сондықтанда 6-шы ережеге сәйкес П4 көрсеткішінің белгілері П2 және П3 көрсеткіштердің белгілерін біріктіру арқасында алынады, яғни:
П4(Кмат, Склад, Пост, Дата, Сумма)
Аталған көрсеткіштер деректер базасында 2 файлды құрайды
F1 Кмат, Цена атрибуттарымен,
F2 Кмат, Склад, Пост, Дата, Кво-док, Кво-пр, Сумма атрибуттарымен.
Ақпарат бірлігінің ерекше түріне көрсеткіштерді бөлудің бір себебі, көрсеткіш ақпараттылықты сақтайтын атрибуттардың шағын тобы болып табылады, сондықтан да жеке құжат үшін ол жеткілікті.
Экономикалық процестерді (объектілердің өзара байланысын) сипаттайтын көрсеткіштер үшін олардың құрама бөліктерін кластарға жіктеуге бөледі:
· көрсеткіште атрибут-негізді алудың алгоритмін көрсететін формальды сипаттамасын;
· процеске қатысатын объектілер тізімі;
· процесс атауы;
· атрибут-негіздің өлшем бірлігі;
· уақыт кезенін және уақыт периодын анықтау;
· басқару функциясының атауы;
· сипатталатын процесс орындалатын экономикалық жүйенің атауы.
Көрсетілген барлық бөлімдер көрсеткішті дәл белгілеу үшін қажет. Көрсеткіштің атрибут-белгілері, тек уақыт кезеніне (периоды), процесіне қатысатын объектілер тізімі белгілі бір тәртіппен орналасу керек. Өлшем бірлікті көрсететін белгіде қосылады, ал көрсеткіштің қалған сипаттамалары сақталатын мәнде емес, оның атауында көрсетіледі.
Көрсеткішті деректер көлемінің жалпыланған өлшем бірлігі ретінде қолданған ыңғайлы.
Экономикалық көрсеткіштер мен сызықтық алгебрада қарастырылатын индексті айнымалылар арасында ұқсастық бар. Мысалы, П3(Кмат, Цена) көрсеткіші С(і) шамасына сәйкес келеді, мұнда С і-ші кодты материал Кмат бағасы.
С айнымалысы Цена атрибут-негізге сәйкес келеді, і индексі – Кмат атрибут негізге. Жалпы жағдайда айнымалы атрибут-негізді кескіндейді, ал осы айнымалының индекстері – көрсеткіштің атрибут-белгілерінің сәйкес келетін мәндерін.
Бұлардың бір айырмашылығы, С айнымалының і индексі әдетте 1-ден кейбір белгіленген мәнге дейін ғана өзгереді, ал материалдың номенклатуралық номерлері әртүрлі тәсілдермен кодтала алады.
Приходный ордердің қалған көрсеткіштері келесі индексі бар айнымалыларға сәйкес келеді:
П1 үшін K(i, j, m, n)
П2 үшін P(i, j, m, n)
П4 үшін S(i, j, m, n)
мұнда:
j – склад номері,
m – жабдықтаушы коды,
n – дата.
Көрсеткіштер үшін есептеу арасалмағы индексі бар айнымалылар өрнегіне сәйкес келеді, мысалы:
S(i, j, m, n) = P(i, j, m, n)*C(i)
Математикада индексті айнымалылармен орындалатын арифметикалық операциялар үшін бекітілген заңдылықтар көрсеткіштермен орындалатын арифметикалық әрекеттер ережесіне өзгертіледі.
1. Сандық мәні х көрсеткішті, Х индекстер көпшесін және сандық мәні у көрсеткішті және У индекстер көпшесін қарастырайық. @ деп төрт арифметикалық әрекеттің біреуін белгілейік. Онда Z индексінің көпшесі z=x@y, яғни Х және У көпшелерінің бірігуіне тең болады. Егер Х және У жалпы бір индекске ие болса, z-ті есептеудің қажет шарты болып х және у айнымалылар индекстерінің мәндері бір-біріне сәйкес келу қажет.
2. Қосындысын есептеу және көбейту операциялары сызықтық алгебрадағы операцияларға ұқсас. Негізінде:
· егер қосынды екі әртүрлі индекстер арқылы жүргізілсе, оның әрқайсысы бір-біріне тәуелсіз өзгеріп отырса, онда қосындылау тәртібі бәрібір,
· егер бір индекстің өзгеру шегі басқа қосындылау индексіне тәуелді болса, онда қосындылау тәртібін өзгерту кезінде әрбір индекстің өзгеру шегі басқа болады.