Системы счисления.
Рис. 1.2.2. Иерархическая структура почтовых адресов
В иерархической структуре адрес каждого элемента определяется путем доступа (маршрутом), ведущим от вершины структуры к данному элементу.
Иерархические структуры данных по своей форме сложнее, чем линейные и табличные структуры, но они не создают проблем с обновлением данных. Недостатком иерархических структур является относительная трудоемкость записи адреса элемента данных и сложность их упорядочивания. Часто методы упорядочивания в таких структурах основываются на предварительной индексации, которая заключается в том, что каждому элементу данных присваивается свой уникальный индекс, который можно использовать при поиске, сортировке и т.д.
В современных компьютерных системах исходные данные обычно представляются в десятичной системе счисления. Однако десятичная система не может непосредственно использоваться, так как не существует надежных и быстродействующих технических устройств, которые могли бы фиксировать десять устойчивых состояний. Исходя из этого, в современных компьютерных системах применяются элементы, которые имеют два устойчивых состояния: включен – выключен, есть напряжение – нет напряжения, есть заряд – нет заряда и т.д. Очевидно, что эти два устойчивых состояния удобно описывать двоичной системой счисления, которая имеет всего две цифры (0 и 1) и которая является основной. В качестве вспомогательной системы счисления используется шестнадцатеричная система счисления.
Системой счисления называется совокупность символов (цифр) и правил для изображения чисел.
Используемые в современных компьютерных системах десятичная, двоичная и шестнадцатеричная системы счисления являются позиционными системами, в которых значения отдельных цифр в числе (их вес) определяется их положением (разрядом).
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основным параметром – основанием (базисом) – Р.
Основанием (Р) любой позиционной системы счисления называется количество цифр, используемых для изображения чисел.
Так, в десятичной системе счисления основание (Р) равно десяти (Р=10), и, следовательно, в ней используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9.
В двоичной системе счисления основание равно двум (Р=2), и, следовательно, в ней используется всего две цифры: 0,1.
В шестнадцатеричной системе счисления основание равно шестнадцати (Р=16), и, следовательно, в ней используется шестнадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Для удобства цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15 заменены латинскими буквами А, В, С, D, Е, F (А=10, В=11, С=12, D=13, Е=14, F=15).
Исходя из того, что количество используемых цифр в любой позиционной системе счисления определяется ее основанием (Р), соседние разряды в числе отличаются в Р раз. При этом применяется следующая нумерация разрядов дя целой и дробной частей любого числа:
- в целой части числа нумерация начинается с нулевого разряда и идет справа налево, т.е. 0, 1, 2, 3, 4 и т.д.;
- в дробной части числа нумерация начинается с -1 разряда и идет слева направо, т.е. –1, -2, -3, -4, и т.д. (см таблицу 1.3.1.).
Таблица 1.3.1.
| Р а з р я д ы | |||||||
| -1 | -2 | -3 | -4 | ||||
| Р3 | Р2 | Р1 | Р0 | Р-1 | Р-2 | Р-3 | Р-4 |
Пример 1. Десятичная система счисления (Р=10).
А(10) = 275,578(10) = 2*102 + 7*101 + 5*100 + 5*10-1 +3*10-2 +8*10-3
Пример 2. Двоичная система счисления (Р=2).
А(2) = 111,111(2) = 1*22 + 1*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 + 1*2-3
Пример 3. Шестнадцатеричная система счисления (Р=16).
А(16) = 28С,35Е(16) = 2*162 + 8*161 + 12*160 + 3*16-1 + 5*16-2 + 14*16-3
Если произвести указанные математические операции, то можно получить десятичное представление взятых чисел.
Рассмотренные простые примеры показывают не только формы записи любого числа в произвольно выбранной системе счисления, но и дают простой способ для перевода чисел, выраженных в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную систему счисления.
Для перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления удобно использовать таблицу соотношение степеней основания 2 (см. таблицу 1.3.2.):
Таблица 1.3.2.
| Степени двойки | |||||||||
| Десятичные числа |
Пример 4. Перевести десятичное число 640 в двоичную систему счисления
640(10)=29+24+23+22=512+16+8+4
Следовательно: 640(10)=1000011100(2)
Рассмотрим теперь обратную задачу: перевод чисел, выраженных в десятичной системе счисления, в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления. Для этого удобно использовать следующую таблицу соответствия.
Таблица 1.31
| Системы счисления | Системы счисления | ||||
| Десятичная | Двоичная | Шестнадцатеричная | Десятичная | Двоичная | Шестнадцатеричная |
| А | |||||
| В | |||||
| С | |||||
| D | |||||
| Е | |||||
| F |
Используя таблицу 1.3.1 можно легко переводить числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему и обратно.
Пример 5. Перевести двоичное число 101.11(2) в шестнадцатеричную
систему счисления.
Запишем данное двоичное число следующим образом:
0101.1100
 | |
5 С
Следовательно 101.11(2) = 5.С(16)