Позиционные и непозиционные системы счисления
Системы счисления
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ
Существует много различных систем счисления. Некоторые из них распространены, другие распространения не получили. Наиболее простая и понятная для вас система счисления - десятичная (основание 10). Понятна она потому, что мы используем ее в повседневной жизни. Но для ЭВМ десятичная система счисления крайне неудобна - необходимо иметь в цепях 10 различных уровней сигналов.
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. Древние египтяне применяли систему счисления, состоящую из набора символов, изображавших распространенные предметы быта. Совокупность этих символов обозначала число. Расположение символов в числе не имело значения, отсюда и появилось название непозиционная система. К таким системам относится и римская, в которой впервые все величины представлялись с помощью прямолинейных отрезков. Людям приходилось либо рисовать громоздкие строки повторяющихся символов, либо увеличивать алфавит этих символов. Это и явилось общим недостатком непозиционных систем счисления.
В римской системе для записи больших чисел над символами основного алфавита ставилась черточка, которая обозначала: число надо умножить на 1000. Но все эти «маленькие хитрости» были бессильны перед проблемой записи очень больших чисел, с которыми сегодня приходится иметь дело вычислительным машинам. Выход из положения был найден, как только стали применять позиционные системы. В такой системе счисления число представляется в виде определенной последовательностинескольких цифр. Место каждой цифры в числе называют позицией. Первая известная нам система, построенная на позиционном принципе, - шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим - десятки. При определении числа учитывали, что цифры в каждом следующем разряде были в 60 раз больше тех же самых цифр из предыдущего разряда. Запись числа была неоднозначной, так как не было цифры для определения нуля. Следы вавилонской системы сохранились и до наших дней в способах измерения и записи величин углов и времени.
Однако главную роль в нашей жизни играет индо-арабская система, где имеется ограниченное число значащих цифр - всего 9, а также символ 0 (нуль). Индийцы первыми использовали 0 для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней было десять цифр.
В эпоху вычислительной техники получили практическое применение восмеричная, шестнадцатеричная и двоичная системы счисления, которые являются ее основой.
Итак, позиционная система!!!! В ней каждой позиции присваивается определенный вес pi, где p - основание системы счисления.
Например, четырехпозиционное число можно представить следующим образом: a=a3p3+a2p2+a1p1+a0p0,
где ai соответствует цифре.
Вес pi увеличивается от позиции к позиции справа налево пропорционально. В качестве такой пропорции выступает степень основания. Таким образом, веса в позиционной системе счисления приобретают вид p+n, ..., p+2, p+1, p+0. Вышеприведенный пример тогда имеет вид: a=a3p3+a2p2+a1p1+ a0p0. Если ai есть множество десятичных чисел, а основание p=10, то значение числа aвычисляется, например, так: a=5 103 +4 102+8 101+3 100=5483.
Для того чтобы представлять дробные числа, применяется отрицательный показатель степени основания:
a=a-1p-1+a-2p-2=1 10-1+ 5 10-2=0.15.
В общем виде число в позиционной системе счисления записывается и вычисляется так:
a=am-1pm-1+am-2pm-2+…+a1p1 + a0p0+ a-1p-1+ a-2p-2+… + a-np-n,
В общем виде число в позиционной системе счисления записывается и вычисляется так:
a=am-1pm-1+am-2pm-2+…+a1p1 + a0p0+ a-1p-1+ a-2p-2+… + a-np-n,
где m -число цифр, расположенных слева от точки,
n – число цифр, расположенных справа.
Пример для десятичной системы (p=10):
a=a2p2+a1p1+a0p+a-1p-1+a-2p-2=
=4 102+2 101+2 100+1 10-1+5 10-2=432,1510
Пример для двоичной системы счисления (p=2):
a=1 22+0 21+1 20+0 2-1+0 2-2=101,12=5,510/
В целом числе предполагается, что точка (запятая) находится справа от правой крайней цифры. Возможные нули в правых, левых и крайних позициях числа не влияют на величину числа и поэтому не отображаются. Действительно, число 432.15 равно числу 000423.150. Такие нули называются незначащими. Крайняя левая цифра в числе называется цифрой старшего разряда, а крайняя правая - цифрой младшего разряда.