Конспект лекции

ТЕМА XVI - ДИСКРАТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

План лекции (1 час)

 

1. Понятие случайной величины

2. Дискретная случайная величина и её свойства.

3. Основные числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

 

 

1. Случайная величина – это переменная Х, принимающая в результате испытания то или иное числовое значение из множества возможных значений величины. Чаще случайная величина характеризует результат испытания количественно. Например, размер выточенной на станке детали –случайная величина, как и число выпавших очков при выбрасывании кости в игре. X,Y,Z,…-случайные величины, - числовые значения случайных величин. Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Дискретнаяслучайнаявеличина – это случайная величина, принимающая с определенной вероятностью одно значение из множества значений, записанного в виде конечной или бесконечной последовательности. Например, выбрасывание кости – величина дискретная, значения очков на гранях принадлежат множеству {1,2,3,4,5,6}, каждое значение выпадает с вероятностью . Дискретная случайная величина принимает множество значений, элементы множества можно пронумеровать: Непрерывнаяслучайнаявеличина – это случайная величина, принимающая любое значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

2. Если дискретная случайная величина Х в результате испытания принимает возможные значения: с вероятностями , то ее перечисленные значения рассматриваются как события при испытании: … (Табл1)

Табл.1

			…..
P			…..

 

С помощью таблицы 1 задается закон распределения дискретной случайной величины. В результате испытания величина Х всегда примет хотя бы одно из перечисленных значений, поэтому (1). Непрерывная случайная величина в силу бесконечности множества возможных значений задать таблицей невозможно, непрерывные величины задают законами распределения. Часто закон распределения случайной величины неизвестен, поэтому случайную величину изучают по её числовым характеристикам.

3. Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности (2). Математическое ожидание показывает положение случайной величины на числовой оси, фиксируя центр распределения – некоторое среднее значение, около которого группируются в разной степени все возможные значения случайной величины, это численная постоянная. Свойства: [1]. - среднее значение величины (3). [2].Математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании есть вероятность этого события: р=Р(А). [3]. М(С)=С (4). [4]. М(СХ)=СМ(Х) (5). [5]. M(X+Y)=M(X)+M(Y) (6).

При сравнении математических ожиданий двух дискретных случайных величин (табл.2) и M(Y)=0.

Табл. 2

Х	-2				Y	-9
р	0,2	0,6	0,2		р	0,4	0,2	0,4

Здесь M(X)=M(Y), но поведение случайных величин X и Y отличается друг от друга: значения величины Y расположены значительно дальше от своего M(Y), чем значения величины Х от своего среднего значения. Поэтому знания одного параметра случайной величины – М(Х) - недостаточно для характеристики самой случайной величины. Для случайной величины Х, заданной таблицей 1 построим разность: Х-М(Х), это отклонение случайной величины Х от её М(Х), тоже случайная величина. Чтобы отклонение Х-М(Х) приняло значение необходимо, чтобы величина Х приняла значение ; если значение величина Х принимает с вероятностью , то и отклонение Х-М(Х) примет значение с вероятностью , закон распределения отклонений случайной величины Х (табл.3):

 

Табл.3

Х-М(Х)			………..
р			………..

 

Можно доказать, что М(Х-М(Х))=0 (7) (математическое ожидание отклонения случайной величины равно нулю). При различных значениях случайной величины значения отклонений могут быть как положительными, так и отрицательными, не всегда удается определяется среднее отклонение возможных значений Х от её М(Х). Для практических вычислений используют квадрат отклонения: ( >0; закон распределения квадратов отклонений случайной величины - (табл.4):

 

Табл. 4

			……..
			…….

 

Дисперсия дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания : (8). Метод вычисления дисперсии: (9). Дисперсия – это числовая характеристика, определяющая степеньрассеяния случайной величины Х вокруг её математического ожидания. Свойства:[1]. (10) - следует из определения дисперсии и свойств М(Х).[2]. (11).[3]. D(C)=0(12). [4]. (13).[5]. (14). Из (9) и (11): дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины Х. Если необходимо иметь числовую характеристику случайной величины Х той же размерности, что и сама случайная величина, то используется среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х - это квадратный корень из её дисперсии: (15), всегда существует, так как . Среднее квадратическое отклонение характеризует, как и дисперсия, оценку рассеяния случайной величины Х относительно её М(Х), но не в квадратных единицах измерения, как дисперсия, а в тех же единицах, в каких измерена сама случайная величина. Случайная величина Y называется нормированной, если M(Y)=0, D(Y)=1.