Конспект лекции
План лекции
ТЕМА VIII – СИСТЕМЫ «n» УРАВНЕНИЙ С «n» НЕИЗВЕСТНЫМИ.
Конспект лекции
ТЕМА VII – КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
План лекции (1 час)
1. Понятие квадратичной формы.
2.Определение знака квадратичной формы.
1. Квадратичная форма от «n» неизвестных - это сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из неизвестных, либо произведением двух различных неизвестных, например: В форме встречаются подобные члены, поэтому вводятся специальные обозначения коэффициентов при неизвестных: коэффициент при обозначается через ; так как (1), то коэффициент при обозначается ; из (1) , тогда . Квадратичная форма записывается: . Например, для квадратичной формы (2): (а) квадратов вида не существует, поэтому ; (b) , получаем матрицу . В матрице все элементы, симметричные друг другу относительно главной диагонали, равны между собой; матрица А - симметрическая, симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной. Квадратичная форма - каноническая, если все коэффициенты при произведениях различных неизвестных, равны нулю, например, . Всякую квадратичную форму специальными преобразованиями можно привести к каноническому виду.
2. В процессе некоторых исследований появляется необходимость определения знака квадратичной формы. Если квадратичная форма представлена в каноническом виде, то она считается положительно определенной, если все квадраты положительны. Если квадратичная форма состоит не только из квадратов неизвестных, то для определения ее знака существует критерий Сильвестра. Все миноры, расположенные в верхнем левом углу матрицы квадратичной формы – это главные миноры. Например, для матрицы третьего порядка - главные миноры –это . Критерий Сильвестра: (а)Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны. (b) Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки всех угловых миноров ее матрицы чередовались при условии, что . Например, для : , тогда матрица квадратичной формы
и , форма f- положительно определена.
1. Понятие системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными.
2. Решение системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными по правилу Крамера.
3. Решение системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными методом Гаусса.
4. Решение системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными матричным методом.
1.Система «n» линейных уравнений с «n» неизвестными - это система вида:
(1).
Числа это коэффициенты системы, - свободные члены.
(2) – матрица системы (1). = (3) – определитель матрицы системы (1). Если в системе (1) все , то система (1) называется однородной.
2. Решение системы (1) – это множество чисел вида , которые обращают все уравнения системы (1) в тождества. Если система имеет хотя бы одно решение, то она совместна, если решений система не имеет, то система несовместна. Если , то матрица А – невырожденная, тогда существует обратная матрица . Пусть Х столбец, составленный из неизвестных, В - столбец, составленный из свободных членов системы (1).
(4). Составим определитель (5), который строится на основе определителя (3) путем замены элементов j-го столбца на элементы столбца свободных членов. Вычислим произведение матриц A и X:
- слева в
произведении стоит матрица системы уравнений, справа от знака равенства стоит матрица – столбец, составленная из левых частей уравнений системы (1); полученное выражение записывается в виде матричного уравнения: АХ=В (6). Если , матрица (2) невырожденная, существует матрица ,
обратная матрице А: (7) и (8)
Умножая обе части уравнения (6) на матрицу слева получаем: или (9). Для произведения :
= (10)-матрица–cтолбец, элемент, стоящий в j-ой строке этой матрицы равен:
(11) - в скобке равенства (11) стоит сумма произведений элементов столбца свободных членов, стоящего в j-ом столбце, на алгебраические дополнения этих же самых элементов, эта сумма равна значению определителя (5) (см. св-ва), откуда (12). С другой стороны: и если матрицы равны, то элементы, стоящие в одинаковых строках, равны между собой, поэтому , , (13) – это формулы Крамерадля решениясистемы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными, например, в системе с тремя неизвестными: :
3.Не всегда число уравнений совпадает с числом неизвестных, тогда квадратной матрицы системы не существует, кроме того, формулы Крамера неудобно применять при большом числе неизвестных, тогда используется метод Гаусса. Будем предполагать, что все заданные системы совместны, т. е. имеют решения. Матрица является ступенчатой, если все элементы ее, расположенные ниже главной диагонали, нулевые. Расширенная матрица системы (1) имеет вид:
(14).
Метод Гауссазаключается в построении расширенной матрицы для системы уравнений и преобразовании ее к ступенчатому виду.
Рассмотрим систему с четырьмя неизвестными.
(15)
Пусть в системе (15) (если в системе первый коэффициент равен нулю, то можем изменить порядок расположения уравнений и сделать первым такое уравнение, в котором ).
1 шаг: (а) Разделим все члены уравнения (а) на коэффициент ; умножим полученное уравнение на число и вычтем его из (б); затем уравнение (а) умножим на и вычтем его из (в); наконец умножим это же уравнение на число и вычтем его из уравнения (г). В результате первого шага приходим к системе, в которой коэффициенты при неизвестной «х» равны нулю:
(16).
2 шаг: C уравнениями (е), (ж), (з) поступаем так же, как с уравнениями (а), (б), (в), (г) и т.д.В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:
(17).
Из преобразованной системы (17) последовательно вычисляются все значения неизвестных. Например:
; ~ ~ ~
или , откуда z=2;y=3;x=-1.
4. К решению систем уравнений можно применить матрицы (матричный метод). Рассмотрим систему уравнений с четырьмя неизвестными: .Обозначим: - матрица системы уравнений; , матрица – столбец составлена из неизвестных; - матрица – столбец, составлена из свободных членов системы. По правилу умножения матриц: .
Каждая строка правой части произведения матриц может быть приравнена своему свободному члену, поэтому имеем: (18). Последнее равенство – это матричное уравнение, где роль неизвестного играет матрица Х.