Конспект лекции

План лекции

ТЕМА V – КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

1.Понятие комплексного числа.

2.Комплексное число в алгебраической форме.

3.Операции сложения и вычитания комплексных чисел в алгебраической форме.

4.Комплексное число в тригонометрической форме.

5.Операции умножения, деления, возведения в натуральную степень, извлечение корня натуральной степени из комплексного числа в тригонометрической форме.

6. Показательная форма комплексного числа.

 

 

1. В множестве R уравнение решений не имеет. Возникает задача расширения множества R до такого множества, в котором это уравнение имеет решение. Существование взаимно однозначного соответствия между парами действительных чисел (a,b) и точками плоскости привело к идее введения расширения R, в котором выполнялась бы операция извлечения корня четной степени из отрицательного числа. Элементами этого нового множества считают пару чисел (a,b), , они изображается точками плоскости с их координатами. Пару таких чисел называют комплексным числом. Начало координат–число (0,0); число, противоположное числу -эточисло

2. В построенном числовом множестве вводятся простейшие алгебраические операции: cумма - (1), произведение - (2), разность - (3).Частное чисел и - это число , для которого выполняется:, .После преобразований: (4). Числа исчитаются равными, если (понятий «больше» и «меньше» в построенном множестве не существует). Множество чисел вида (a,b) c операциями сложения, вычитания, умножения и деления называется множеством комплексных чисел К.

(a).Связь множеств R и K: с одной стороны: (5).С другой стороны (6), из (5) и (6): комплексное число (1,0) совпадает с действительным числом «1». (b).Точки вида -это точки оси ОХ : комплексное число -действительное число «а». (с) Из определений операций: , ,

операции с комплексными числами совпадают с операциями с действительными числами. (d). Cреди чисел К содержится корень уравнения :существует такое число «m», что : , если m=(0,1), то и число m=(0,1) – это точка оси OY. (е). Обозначим m=i: , (7); - точка оси OY. (g) Комплексное число (8) (z=x+yi) - комплексное число z в алгебраической форме.

3.Число «i» - называется мнимой единицей, «yi» - мнимая часть, «х» - действительная часть числа «z». Если , тогда сумма и разность вычисляются: . Произведение и частное комплексных чисел проще вычислять в тригонометрической форме комплексных чисел. Число называется числом, обратным числу z. Свойства: [1]. .[2] .[3]. Если , то либо , либо .[4]. Если , то . Числа - сопряженные, и являются взаимно сопряженными. Действительное число х сопряжено самому себе: , если y= 0, z=х – действительное; число, сопряженное числу , если y=0 , то . Сумма двух сопряженных чисел: .

4. Комплексное число представляетсям и в тригонометрической форме. Каждая точка плоскости M(x;y) отождествляется с комплексным числом . С другой стороны, точка M(x;y) характеризуется параметрами: (а) ее проекциями на оси OX и OY (числами x и y),(в) расстоянием r=|OM| точки M(x;y)до начала координат О (0;0), (с) углом между вектором и осью ОХ. Число r=|OM|= (9) - это модуль комплексного числа : . Угол - это аргумент числа ( =арг z, - любые действительные значения), угол отсчитывается против часовой стрелки, если углы и отличаются друг от друга на , то соответствующие точки совпадают, поэтому аргумент комплексного числа принимает бесконечное множество значений, отличающиеся друг от друга на кратное число . Если два комплексных числа равны, то их модули равны ( ), а аргументы отличаются на целое число, кратное . Для числа z=0: |z|=0, угол - не определен. Из геометрической интерпретации комплексного числа: , тогда (10). Подставив эти выражения в алгебраическую форму комплексного числа, получим (11) - тригонометрическая форма комплексного числа. Введение аргумента и модуля комплексного числа равносильно переходу от прямоугольной декартовой системы координат к полярной системе.

5. С комплексными числами в тригонометрической форме осуществляются операции умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем и извлечения корня любой степени с натуральным показателем.

Произведение чисел и : = (12). Например:

Деление =

(13) Пусть , тогда , , методом математической индукции доказывается: (14) - формула Муавра. Корень натуральной степени n из комплексного числа : . Обозначим - это такое комплексное число, для которого выполняется:

, откуда , с другой стороны . У равных комплексных чисел равны и модули и аргументы, поэтому и ; равные аргументы могут отличаться друг от друга на число, кратное , поэтому .

(15), где - это формула для извлечения корня степени n из комплексного числа. Для к=0,1,2,…n-1 значения угла различны, начиная с к=n эти значения повторяются. Все значения расположены на окружности радиуса с началом в точке О(0;0). Например, для корня из числа запишем формулу: . Вычислим значения для различных значений «к»:

(1) . ;

(2) , ;

(3) ; ;

(4) ; ;

(5) ; =

 

= =

= - далее корни повторяются .

6. Cуществует показательная форма записи комплексного числа. Считаем по определению (*) , тогда если , то - это комплексное число, записанное в показательной форме. Для проверки правомерности этого осуществим операции умножения, деления, возведения в натуральную степень комплексного числа z в тригонометрической и показательной формах и сравним результаты. Пусть числа заданы в тригонометрической и в показательной формах:

 

 

Умножение: (а) и (b). Сравним (а) и (b): левые части равны, следовательно равны и правые части:

= , или = (16), формула (*) действительно задает комплексное число. Для деления двух комплексных чисел в показательной форме имеем формулу (17); для возведения комплексного числа в натуральную степень - (18).