Лекция 1.

ТЕМА III –АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

План лекции.

 

1.Декартовы и полярные координаты точки на плоскости

2.Уравнение прямой на плоскости.

3. Способы задания прямой на плоскости.

4. Взаимное расположение прямых на плоскости.

5. Простейшие кривые второго порядка.

 

1. Декартовой системой координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и парами действительных чисел (x;y), х – абсцисса, y – ордината. Поэтому многие геометрические задачи становится возможным решать в числах.

Расстояние между двумя точками и на плоскости (рис 1): (1).

 

Рис. 1.

Координаты точки , делящей отрезок [AB] в отношении ( ) три точки плоскости ; ( не параллелен осям OX; OY) проектируются на ось OX (рис. 2): ; по известной теореме геометрии: ,откуда (2).

 

Рис.2

Полярная система координат на плоскости - это совокупность точки О, полярной оси OL, орта и положительного направления обхода (рис.3 .)

 

Рис. 3.

 

 

Числа - это полярные координаты точки М: . Декартовы и полярные ( координаты одной и той же точки ( ) связаны: (3); (4) (рис.4)

 

Рис. 4

2. Всякому уравнению , связывающему координаты и , соответствует некоторая линия: координаты любой точки Р(x;y), лежащей на этой линии, удовлетворяют этому уравнению, и обратно, всякая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению, лежит на данной линии. Координаты могут входить в уравнение в первой или второй степени; например: х=3-уравнение прямой, параллельной оси OY; x=y - уравнение биссектрисы,; |x|=1- уравнения двух прямых, параллельных оси OY и отстоящих от начала О на расстояние, равное единице; - уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r=2; - уравнение луча, проходящего через полюс Р (в полярных координатах). Однако уравнение не всегда определяет привычный образ: уравнение определяет лишь одну точку О(0;0), не имеет геометрического образа на плоскости. Уравнение, содержащее переменные в первой степени определяет прямую линию, уравнения прямой линии могут иметь различные формы.

3.Уравнение (5) - общее уравнение прямой на плоскости; – текущие координаты, – действительные числа. Если прямая l не параллельна ни одной из осей координат, наклонена к оси ОХ под углом и - текущая точка прямой, то из BMN : (рис. 5), обозначив , (6) - уравнение прямой с угловым коэффициентом,где - текущие координаты, - угол между положительным направлением оси и прямой, – отрезок, отсекаемый прямой на оси (с учетом знака)

Рис. 5 6

Если в (5) ни один из коэффициентов А,В,С не равен нулю, то преобразование приводит (6) к (7) - уравнение прямой в отрезках: a,b – отрезки, которые прямая отсекает на осях координат (с учетом знаков (рис. 6)

 

Рис. 6

Если , то (а). Вычитаем (а) из (6): (8)- уравнение прямой с угловым коэффициентом «к», проходящей через точку .Если прямая (8) проходит через точку ,то (б); разделив (8) на (б), имеем : (9) – уравнение прямой, проходящей через две точки.Две точки ина прямойl образуют вектор , если , то вектор направляющий вектор прямой l. При вектор коллинеарен : ; в координатах: откуда (10) - уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором. Из коллинеарности векторов и и соотношений : (11) - параметрическое уравнение прямой, «t» - параметр.Если прямой l перпендикулярен вектору , то , в координатах - (12)- уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором .

4. Прямые на плоскости могут быть параллельными, пересекаться и совпадать друг с другом. Угол между прямыми и -это наименьший угол , на который надо повернуть прямую вокруг точки пересечения против часовой стрелки до совпадения с прямой : .

Если и и внешний угол , то

(рис. 7).

 

 

Рис. 7

и , (13), угловой коэффициент для определения угла между прямыми. Для и : (14), для прямых, , и : (15), для , и : (16), для совпадающих прямых: (17).Если один их знаменателей в условии параллельности двух прямых равен нулю, то в этой дроби и числитель равен нулю. Для прямых , и : ( ), тогда , , и (18); для прямых , и : (19).

3. - уравнение второй степени определяет кривую 2-го порядка. Простейшая кривая – окружность: (20) (точка - центр окружности, R – радиус); если центр окружности в начале координат, то . Эллипс –это множество точек плоскости таких, что сумма расстояний каждой из них до двух данных точек плоскости (фокусов ), есть величина постоянная, равная 2а (рис. 8).

Рис. 8

По определению: (а>с) или , после преобразований и введения обозначения (при а>с) : (21), -текущие координаты, - большая полуось, - малая полуось, - фокусы эллипса;, (22) -эксцентриситет эллипса. При а=b имеем окружность: .

Гипербола – это множество точек плоскости таких, что разность расстояний каждой из них до двух данных точек плоскости (фокусов ), есть величина постоянная, равная 2а (рис. 9).

Рис. 9

 

По определению: (а<с) или , после преобразований и введения обозначения : (23), x,y - текущие координаты, - действительная полуось, - мнимая полуось, фокусы гиперболы, (24) - эксцентриситет гиперболы.

Парабола - это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса F) и данной прямой d (директрисы) (рис. 10).

Рис.10

Если KF =p –параметр параболы, то уравнение директрисы l, по определению параболы: ; после преобразований получаем (25) - каноническое уравнение параболы. Так как переменная y - в четной степени, то парабола симметрична относительно оси ОХ.