Конспект лекции.

План лекции

ТЕМА I -МНОЖЕСТВА

КУРС ЛЕКЦИЙ

Информатика и информационные технологии в образовании».

Профиль

МАТЕМАТИКА

Одним из основных методов борьбы с вирусами является своевременная профилактика. Основные правила защиты.

Профилактика заражения компьютера

Правило первое. Перед тем как запустить новый файл на выполнение или открыть документ, обязательно нужно про­верить их на наличие вирусов.

Обязательно использовать программы-антивирусы, обеспечивающие проверку «на лету» всех файлов, приходящих по электронной почте (и по Internet в целом).

Правило второе—покупать дистрибутивные копии программного обеспечения у официальных продавцов.Пользоваться только хорошо зарекомендовавшими себя источниками программ и прочих файлов.

Правило третье.Пользоваться утилитами проверки целостности информа­ции. Такие утилиты сохраняют в специальных базах данных информацию о системных областях дисков (или целиком системные области) и информацию о файлах (контрольные суммы, размеры, атрибуты, даты последней модифи­кации файлов и т. д.). Периодическое сравнение информации, хранящейся в подобной базе данных, с реальным содержимым винчестера может служить сигналом о появлении вируса или "троянской" программы.

Правило четвертое.Периодически делать резервные копии (backup-копии). Затраты на копирование файлов, содержащих исходные тексты программ, базы данных, документацию, значительно меньше затрат на восстановление этих файлов при проявлении вирусом агрессивных свойств или при сбое компьютера.

 

1.Понятие множества, геометрическая интерпретация числовых множеств на числовой прямой.

2. Операции с числовыми множествами (объединение, пересечение).

3. Декартово произведение множеств.

1. Множество – основное понятие, оно не определяется, вводится на примерах: множество жителей города - конечное, множество натуральных чисел N={1;2;3;…n…}-бесконечное. Каждое множество состоит из элементов: a;b;c;…m; 1;2;3;…n…; ( ) - элемент а принадлежит множеству А; если В={x| }, то -пустое. Множества чисел, расположенных между двумя данными числами, иллюстрируются числовой прямой: прямой линией с началом координат (точкой О), направлениями и масштабом: (множество действительных чисел: R= ; отрезок: ; интервал: (a;b)={x|a<x<b}; полуинтервалы: и ; лучи: и ;открытые лучи: и . Для множеств А={2;4;6;8} и B={4;6}: все элементы В являются элементами множества А; множество В –подмножество (правильная часть) множества А: ; Связь множества и его подмножества – отношение включения, для него выполняются свойства: [1]. - рефлексивности; [2]. Из и следует - транзитивности; [3]. . Отношение иллюстрируется рисунком, где множества изображаются в виде овалов; это диаграммы (круги) Эйлера – Венна. Если для множеств для А и В выполняется и , то А и В состоят из одних и тех же элементов: ; А и В связаны отношением равенства, свойства: [4]. А= А –рефлексивности; [5]. Из А=В следует В=А – симметричности; [6]. Из А=В и В=С следует А=С –транзитивности.

2. Объединение множеств А и В –новое множество С, состоящее из тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В: или (союз «или» имеет «неразделительный» смысл: в объединение А и В включены элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств). Можно объединить и большее число множеств. Свойства:[1]. А В=В ; [2]. . Например, для А=[2;6) и B=( ;3] объединение - множество С=А В= =[2;6) ;3]=(- ;6). Объединение множеств используется при решении, например, неравенств первой степени: для неравенства |х-4|>1 надо найти множество А={х||х-4|>1}. Так как |х-4|>1 равносильно совокупности двух неравенств (a) х-4>1 или (b)х-4<-1 (х>5 или х<3), то {x||x-4|>1}= {x|x>5} {x|x<3} = (5; ) (- ;3). Пересечение множеств А и В –новое множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как А, так и В: .Свойства:[3].A B=B A; [4]. A (B C)=(A B) C. Например, пересечение А=[2;6) и B=( ;3] –это множество С=А В=[2;6) ( ;3]=[2;3]. Операция пересечения множеств используется при решении неравенств первой степени: для |x-4|<1 надо найти множество А={x||x-4|<1}. Неравенство |x-4|<1 равносильно двойному неравенству –1<x-4<1, поэтому x-4>-1, х>3 (а); x-4<1, х<5 (b) и {x|x-4|<1}= {x|x<5} {x|x>3} = [5]. Если два множества не имеют общих элементов, то А В= (множества непересекающиеся). [6]. A =A; A = .Разность множеств А и В –новое множество С, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В: А\B=C, A\B={x|x A,x B}. Если же В А, то разность A\B= называется дополнением множества В до множества А. Операции объединения и пересечения множеств являются основой для разбиения множества на классы. При разбиении, например, множества U- всех треугольников на 2 класса при помощи одного свойства «быть равносторонним» из U выделяется подмножество А «равносторонних треугольников», остается подмножество «разносторонних треугольников», при этом: Свойство «быть равносторонним» разбило множество треугольников U на два класса. Разбиение множества на попарно-непересекающиеся множества называется разбиением множества на классы, полученные классы называются классами разбиения.

3.Два элемента множества x и y образуют упорядоченную пару: (x;y); в паре (x;y) элемент (х) - первая компонента, (y) - вторая компонента. Равные упорядоченные пары - это пары вида и ( ) при ; если x y, то пары (x,y) и (y,x) различны. Если компоненты х и y принадлежат разным множествам ( ), то можно построить декартово произведение множеcтв X и Y: Х={2,4}, Y={a,b,c}, декартово произведение : {(2;a); (4;a);(2;b);(4;b);(2;c);(4;c)}. Геометрически. если то каждой паре (x,y) соответствует одна и только одна точка плоскости в данной системе координат, и обратно, каждой точке плоскости соответствует одна и только одна пара действительных чисел. Декартово произведение множеств X и Y –это множество всех упорядоченных пар вида (x,y) таких, что : X Y={(x,y)|x .Свойства: [1].X , [2]. X

Декартово произведение множеств изображается в виде чертежа в декартовой системе координат: на оси ОХ откладывают элементы множества Х, на оси OY – элементы множества Y. Тогда точка плоскости, первая координата которой х , а вторая y , является элементом декартова произведения. Например, декартово произведение множеств Х={3,4,5} и Y=[-2,4) изображено на рисунке (Рис.1):

 

Рис. 1