План лекции

Лекция 8. Проверка статистических гипотез

8.1. Статистические гипотезы и критерии

8.2. Т – критерий

8.3. F – критерий

8.4. Критерий согласия Пирсона

8.1. Статистические гипотезы и критерии

Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, порождённая функцией распределения F(x) случайной величины Х. Каждое высказывание или всякое множество непротиворечивых предположений относительно параметров генеральной совокупности (M(Х), D(X) и т.д.) или вида функции распределения F (x), будем называть статистической гипотезой и обозначать Н_о. В качестве примеров можно привести такие гипотезы: 1) М(Х) = 2,2; 2) D(X) < 10; 3) Х Î N(-1; 4); 4) X равномерно распределена на отрезке [-1; 3]; 5) Г_xy = 0; 6) M(X) = M(Y); 7) M(X) - M(Y) < 0; 8) D(X) = D(Y); 9) F₁(x) = F₂(x), где F₁(x), F₂(x) - функции распределения случайных величин X и Y.

Поставим следующую задачу. На основании имеющейся выборки или двух выборок и из разных генеральных совокупностей проверить гипотезу Н_о, т.е. принять одно из двух решений: гипотеза Н_о принимается или отвергается. Правило, по которому принимается или отклоняется данная гипотеза, называется статистическим критерием.

Для проверки гипотезы Н_о подбирается контрольная величина j, являющаяся функцией от результатов наблюдений: или . Такая, соответствующим образом выбранная и приспособленная к решаемой задаче, выборочная функция называется статистикой критерия. Последняя должна удовлетворять следующим условиям.

1. При выполнении гипотезы Н_о статистика j, должна подчиняться известному (табулированному) закону распределения.

2. Значение статистики или должно быть мерой “расхождения выборки и гипотезы Н_о ”.

Проверка статистической гипотезы Н_о сводится к следующему.

По заданному уровню значимости a (обычно a = 0,05; a = 0,01, a = 0,001) отыскивается такая критическая область А_кр, что условная вероятность попадания в неё статистики j при условии справедливости гипотезы Н_о меньше a:

. (8.1)

Область А_кр всегда можно найти, если известно распределения статистики j или хотя бы её асимптотическое распределение, т.е. распределение для больших объемов выборки.

Если реализовавшееся значение статистики j_эмп попало в область А_кр (это событие, имеющее маленькую вероятность a), то от гипотезы Н_о отказываются.

Если же j_эмп не попало в область А_кр, то говорят, что данные наблюдений не противоречат гипотезе Н_о на уровне значимости a.

Если гипотеза Н_о отвергается, хотя она на самом деле верна, то говорят, что совершена ошибка первого рода.

Заметим, что уровень значимости a есть вероятность ошибки первого рода, т.к. .

Если гипотеза Н_о принимается, хотя она в действительности неверна, то говорят, что совершена ошибка второго рода. Вероятность ошибки второго рода обозначают b, т.е. .

Если уровень значимости a задан, то критическую область А_кр, определяемую по формуле (8.1), можно найти многими способами. Принято так определять А_кр, чтобы вероятность ошибки второго рода была наименьшей. Критические области, которые будут в дальнейшем построены, будут выбираться именно по этому критерию.

Итак, перечислим основные этапы процедуры проверки статистической гипотезы.

1. Исходя из условий рассматриваемой задачи и располагая выборкой или выборками ; , формулируют основную или нулевую гипотезу Н_о и альтернативную гипотезу Н₁, которая конкурирует с Н_о .

Конкуренция гипотез Н_о и Н₁означает, что события (Н_о - верна) и (Н₁- верна) являются дополнительными или как иногда говорят, противоположными, т.е. процедура проверки статистической гипотезы заканчивается принятием решения: Н_о - верна или Н₁- верна.

2. Задавшись уровнем значимости a и выбрав критерий или , определяют критическую область А_кр из условия .

В зависимости от вида основной Н_о и альтернативной Н₁гипотез и распределения критерия j возможны три вида критической области А_кр:

а) - левосторонняя критическая область, а значение х_кр определяется из уравнения , где - плотность вероятности статистики j;

б) - правосторонняя критическая область, а значение х_кр определяется из уравнения ;

в) - двусторонняя критическая область, а величины х₁ и х₂ определяются из уравнений

3. Используя данные выборки или выборок ;вычисляют значение критерия или . И если j_эмпÎ А_кр, то принимается гипотеза Н₁, а если j_эмпÏ А_кр, то гипотеза Н_о.

Итак, если j_эмп Ï А_кр , то Н_о принимается, но это не означает, что Н_о является единственно подходящей гипотезой, а просто говорит о том, что расхождение между данными выборки и гипотезой Н_о мало, или другими словами, что гипотеза Н_о не противоречит результатам наблюдений. Но наряду с Н_о таким же свойством могут обладать и другие гипотезы.

Если j_эмп_.Î А_кр , то гипотеза Н_о отвергается и принимается альтернативная гипотеза Н₁, хотя при этом можно и допустить ошибку с вероятностью a.

П р и м е р № 1. Из генеральной совокупности, имеющей распределение , произведена выборка объема n = 100. Реализовавшиеся значения функций выборок (статистик) и равны и .

На уровне значимости a = 0,05 проверить статистическую гипотезу Н_о: а = 1 при наличии альтернативных гипотез Н₁: 1) Н₁: а ¹ 1; 2) Н₁: а > 1;3) Н₁: а < 1.

Р е ш е н и е.

1. Рассматриваются основная гипотеза Н_о: а = 1 и альтернативная Н₁: а ¹ 1.

В качестве критерия выбираем статистику , случайная величина j имеет распределение Стьюдента с m = n - 1 = 99 степенями свободы. Для уровня значимости a = 0,05 и m = 99 найдем такое х_кр > 0, чтобы , где Т - случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с m = 99 степенями свободы.

По табл. 4 Приложения находим корень уравнения : х_кр» 1,99. Поэтому в рассматриваемом случае критическая область А_кр имеет вид: (-¥; -1,99) È (1,99; +¥).

Вычислим значение критерия по данным выборки . Как видим, j_эмпÎ А_кр, и поэтому принимается гипотеза Н₁: а = М(Х) ¹ 1.

2. Рассмотрим основную гипотезу Н_о: а =1 и альтернативную Н₁: а > 1.

Критерий остается прежним: , однако критическая область в данном случае будет правой односторонней . Величина х_кр есть корень уравнения . С помощью табл. 4 находим корень уравнения для m = 99: . Следовательно, критическая область в этом случае: (1,66; +¥). Т.к. j_эмп = 6,7 Î А_кр, то принимается гипотеза: а > 1.

3. Рассмотрим основную гипотезу Н_о: а =1 и альтернативную Н₁: а < 1. Критерий прежний: , а критическая область А_кр - левая односторонняя: (-¥; х_кр), где х_кр < 0.

Величина х_кр есть корень уравнения

, т.е. .

По табл. 4 Приложения находим корень уравнения : . Приравняв х_кр = - х, получаем . Итак, , и т.к. j_эмп = 6,7 Ï А_кр, то принимается основная гипотеза Н_о (а = 1) и отвергается конкурирующая гипотеза Н₁ (а > 1).

Подведем итоги. Проверка статистической гипотезы Н_о: а = 1, проведённая в п. 1, показала, что а ¹ 1. Результаты, полученные в п. 3, дали основание считать неверной гипотезу Н₁: а < 1. В п. 2 установлено, что а > 1 с вероятностью 1- a = 0,95.

П р и м е р № 2. Из генеральной совокупности, имеющей распределение , произведена выборка объемом n = 26. Вычисленное по выборке значение статистики оказалось равным S² = 30.

Рассматриваются основная и альтернативная гипотезы. Каким должен быть параметр , чтобы на уровне значимости a = 0,1 оказалась верной основная гипотеза Н_о?

Р е ш е н и е. В качестве критерия выберем статистику , которая в случае справедливости гипотезы Н_о имеет вид . Случайная величина j имеет хи-квадрат распределение с m = n - 1 = 25 степенями свободы. Критическая область, соответствующая основной и альтернативной гипотезам имеет вид , где величины х₁ и х₂ удовлетворяют уравнениям:

Решая с помощью табл. 5 Приложения уравнения: и , получим . Значит, критическая область такова: .

Значение вычисленного по выборке критерия равно . Чтобы оказалась верной гипотеза Н_о на уровне значимости a = 0,1, должно выполниться условие j_эмп Ï А_кр, т.е. 14,6 £ j_эмп. £ 37,7 или . Окончательно получаем ответ на поставленный вопрос: значение дисперсии должно лежать в диапазоне .

П р и м е р № 3. Дана парная выборка объема n = 52: . Известно, что в генеральной совокупности случайные величины Х и Y распределены нормально, а их коэффициент корреляции равен . По выборке получено значение коэффициента корреляции . На уровне значимости a = 0,05 проверить статистическую гипотезу: .

Р е ш е н и е. Основная гипотеза , а альтернативная - . В качестве критерия выбираем статистику , которая в случае справедливости основной гипотезы Н_о имеет распределение Стьюдента с m = = n - 2 = 50 степенями свободы. Критическая область имеет вид: , где х_крявляется корнем уравнения . Решая с помощью табл. 4 Приложения уравнение , получаем . Итак, .

Значение критерия, вычисленное по данным выборки, равно . Т.к. j_эмп Î А_кр, то основная гипотеза отвергается, а альтернативная гипотеза принимается.

В качестве альтернативной было бы разумно рассмотреть гипотезу , ибо . В этом случае , где х_кр есть корень уравнения . С помощью табл. 4, для числа степеней свободы m = n - 2 = 50 находим корень уравнения : . Итак, , и т.к. j_эмпÎ А_кр, то принимается гипотеза .

8.2. Т – критерий

Т - критерий служит для сравнения математических ожиданий двух генеральных совокупностей а_x и а_y, порождённых нормальными распределениями с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями.

Пусть и - независимые математические выборки из первой и второй генеральной совокупностей. Проверяется основная гипотеза , т.е. . В случае справедливости гипотезы Н_о статистика

имеет распределение Стьюдента с m = n + k - 2 степенями свободы. Здесь,

Этот факт позволяет построить критерий для проверки гипотезы Н_о.

В качестве критерия выбирается статистика j = Т.

1. Если альтернативная гипотеза , то критическая область имеет вид , где величина х_кр > 0 является корнем уравнения , где a - заданный уровень значимости, m = n + k - 2 - число степеней свободы распределения Стьюдента. Уравнение решается с помощью табл. 4 Приложения.

По данным выборок вычисляются значения

после чего определяется значение критерия

Если j_эмп Î А_кр, то принимается альтернативная гипотеза , а если j_эмп Ï А_кр, то принимается основная гипотеза .

2. Если альтернативная гипотеза , т.е. , где х_кр > 0 есть корень уравнения , т.е. . Этот корень находится по табл. 4 Приложения. Затем вычисляется j_эмп_., и если j_эмп Î А_кр, то принимается гипотеза , а если j_эмп Ï А_кр, то принимается основная гипотеза .

3. Если альтернативная гипотеза , то критическая область имеет вид , где величина х_кр > 0 есть корень уравнения . По табл. 4 определяется х_кр, вычисляется j_эмп_., и если, j_эмп Î А_кр, то принимается альтернативная гипотеза , а если j_эмп Ï А_кр, то принимается основная гипотеза .

П р и м е р. После обработки втулок на станке-автомате в понедельник и пятницу было отобрано две пробы по десять деталей в каждой. Были измерены диаметры этих втулок с точностью до тысячных долей сантиметра. Результаты измерения (в см) диаметров этих втулок приводятся в таблице:

№ детали
Проба 1	2,066	2,063	2,068	2,060	2,067
Проба 2	2,063	2,060	2,057	2,056	2,059


2,063	2,059	2,062	2,062	2,060
2,058	2,062	2,059	2,059	2,057

Распределение диаметров предполагается нормальным, и поскольку выборки извлечены из продукции, произведенной одним станком, то можно считать дисперсии обоих выборок равными.

Проверить на уровне значимости a = 0,01 гипотезу о том, что математические ожидания генеральных совокупностей деталей, произведенных в понедельник и пятницу, равны. Другими словами, надо проверить, что режим работы станка-автомата с понедельника до пятницы не изменился.

Р е ш е н и е. За основную гипотезу принимаем , а за альтернативную -. В качестве критерия выбираем статистику

имеющую распределение Стьюдента с m = 10 + 10 - 2 = 18 степенями свободы. Критическая область имеет вид , где х_кр есть корень уравнения . По табл. 4 Приложения для a= 0,01 и m = 18 находим . Поэтому .

Вычислим эмпирическое значение критерия j, для чего посчитаем входящие туда величины.

× (2,066 + 2,063 + 2,068 + 2,060 + 2,067 + 2,063 + 2,059 + 2,062 + 2,062

+ 2,060) = 2,063;

× (2,063 + 2,060 + 2,057 + 2,056 + 2,059 + 2,058 + 2,062 + 2,059 + 2,059+ +2,057) = 2,059;

Поскольку j Î А_кр, то принимается альтернативная гипотеза , т.е. режим работы станка-автомата c понедельника до пятницы изменился.

З а м е ч а н и я.

1. По отношению к требованию нормального распределения генеральной совокупности Т - критерий не очень чувствительный. Его можно применять, если статистическое распределение обеих выборок (т.е. их гистограммы) имеют по одной вершине и приблизительно симметричны относительно своих мод.

2. Требование часто может быть обосновано на содержательном уровне, при этом гипотезу можно проверить по F - критерию.

8.3. F – критерий

Гипотезы о дисперсиях имеют в технике большое значение, так как есть числовая мера таких характеристик, как точность обработки изделия, ошибки измерительных приборов, точность технологических процессов и т. п. При этом часто требуется сравнить дисперсии различных математических выборок. Для проверки гипотезы или строится F - критерий. Дело в том, что при справедливости гипотезы Н_о случайная величина , равная отношению исправленных выборочных дисперсий, соответствующих независимым математическим выборкам из генеральных совокупностей распределений и , имеет так называемое F - распределение с (m, l) степенями свободы, где m = n - 1; l = k - 1, а числа n и k - объемы выборок и . В качестве одной из трех возможных альтернативных гипотез берут: а); б); в).

В табл. 6 Приложения F - распределение приводятся для двух значений параметра a: a = 0,05 и a = 0,01 (a - уровень значимости), причем считается, что , т.е. рассматривается случай, когда . По этой таблице можно найти решение уравнения , где , - плотность вероятности F - распределения с m и l степенями свободы.

Рассмотрим три задачи, соответствующие трём различным альтернативным гипотезам.

1. Проверка основной гипотезы при наличии альтернативной

гипотезына уровне значимости a сводится к построению критической области , где х_кресть корень уравнения , и вычислению значения статистики , где - это значения исправленных выборочных дисперсий, вычисленные по имеющимся выборкам и . Если j_эмп Î А_кр, то принимается альтернативная гипотеза , а если j_эмп Ï А_кр, то принимается основная гипотеза .

2. Проверка гипотезы при наличии альтернативной гипотезы сводится к п. 1, т.е. к проверке основной гипотезы при наличии альтернативной . Отличие будет состоять лишь в том, что теперь х_кр – это корень уравнения .

3. Проверка основной гипотезы при наличии альтернативной сводится к вычислению статистики , где - наибольшая из дисперсий , а - наименьшая, и вычислению критической области , где х_кр ³ 1 и является корнем уравнения , где m - число степеней свободы набольшей выборочной дисперсии.

Как и прежде, если j_эмп Î А_кр, то принимается альтернативная гипотеза , а если j_эмп Ï А_кр, то - основная гипотеза .

П р и м е р № 1. Пусть независимые случайные величины нормально распределены и имеют одинаковые дисперсии. Найти значения х₁, х₂, х₃, х₄ такие, что для случайной величины выполняются следующие равенства:

Р е ш е н и е. Как уже говорилось, случайная величина , где , имеет F - распределение с m = 20 и l = 30 степенями свободы. Вначале найдем х₁ > 1 и x₂ > 1 такие, что . Имеем

По табл. 6 Приложения для a = 0,05 и a = 0,01 при m = 20; l = 30 находим: х₁ = 1,93; x₂ = 2,55.

Теперь заметим, что если имеет F - распределение с m и l степенями свободы, то случайная величина имеет F - распределение с l и m степенями свободы. Поэтому величины х₃ < 1 и x₄ < 1, удовлетворяющие равенствам , определяются из уравнений , где . По табл. 6 находим: , а следовательно, .

Аналогично получаем

По табл. 6 находим: , а .

П р и м е р № 2. Двумя измерительными приборами произведены измерения диаметров валов некоторых изделий, сделанных на одном станке в течение одной смены. Первый измерительный прибор использовали 17 раз, а второй - 25 раз. По результатам измерений вычислили значения исправленных выборочных дисперсий отклонений диаметров валов от номинала. Получено, что

Проверить на уровне значимости a = 0,01 гипотезу о том, что оба измерительных прибора имеют один класс точности, т.е. дисперсии ошибок измерений приборов одинаковы.

Р е ш е н и е. Обычно результаты измерений независимы и распределены нормально или приблизительно нормально. Поэтому используем F - критерий. В качестве основной гипотезы Н_о выбираем - точности первого и второго прибора одинаковые. За альтернативную гипотезу берем - второй прибор имеет более высокий класс точности. Конкурирующая гипотеза Н₁ выбрана такой, потому что .

Статистикой критерия является величина , имеющая F - распределение с (16 ; 24) степенями свободы. Критическая область имеет вид , х_кр > 1 есть корень уравнения

По табл. 6 Приложения находим х_кр = х = 2,85, т.е. .

Значение критерия равно . И так как j_эмп Ï то принимается основная гипотеза , т.е. измерительные приборы имеют одинаковый класс точности.

З а м е ч а н и е. При использовании F - критерия предполагалось, что выборки производились из генеральных совокупностей, имеющих нормальные распределения. Однако опыт и исследования показывают, что F - критерий устойчив по отношению к отклонению от нормального распределения, особенно если объемы выборок не меньше нескольких десятков.

Все критерии, построенные ранее и примененные в примерах этого раздела, называются критериями значимости.

Эти критерии позволяют статистически проверить основную гипотезу при наличии одной из альтернативных гипотез , где l - некоторый параметр генеральной совокупности, из которой производится выборка, а l₀ - некоторое заданное число.

Например, Т- критерий или F - критерий позволяют проверить, являются ли некоторые различия в наблюдениях двух выборок значимыми (существенными) или случайными.

8.4. Критерий согласия Пирсона

Рассмотрим теперь один из так называемых критериев согласия: критерий Пирсона или хи-квадрат. Критерий согласия Пирсона служит для статистической проверки гипотезы , где - заданное (гипотетическое) распределение, а - функция распределения случайной величины Х. Гипотеза Н_о может иметь вид , где - гипотетическая плотность вероятности, а - плотность вероятности распределения случайной величины Х. Для дискретной случайной величины, гипотеза Н_о имеет вид .

В начале рассмотрим случай, когда функция распределения полностью определена, т.е. не содержит неизвестных параметров.

Построение критерия согласия Пирсона начинается с разбиения области возможных значений случайной величины Х на конечное число непересекающихся множеств которые называются классами.

Если Х - случайная непрерывная величина, то - интервал или полуоткрытый отрезок вида или , где k - число классов. Возможны случаи, когда . Это будет, например, когда величина Х нормально распределена. Если согласно гипотезе Н_о случайная величина равномерно распределена на отрезке , то .

Для случайной дискретной величины Х её возможные значения объединяют последовательно в k множеств , содержащих соответственно m_i значений ().

Далее, предполагая, что гипотезасправедлива, вычисляют «теоретические» вероятности попадания случайной величины в класс : . Для случайной непрерывной величины Х имеем: . Если Х - случайная дискретная величина, то p_i – это сумма вероятностей для всех m_i значений из интервала : , где х_j Î .

Разбиение выборки объёма n на классы осуществляется произвольно, но при этом следует соблюдать правило: для граничных классов должны выполняться неравенства , а для остальных - . Для удовлетворения этим условиям возможно объединение некоторых соседних классов в один. Опыт показывает, что число классов желательно брать в пределах от 5 до 15.

Итак, пусть все выше перечисленные построения произведены, а необходимые требования выполнены. Пусть - математическая выборка из генеральной совокупности, порождённой распределением , путь - число случайных величин, попавших в i - ый класс, . Тогда в теории вероятностей доказывается, что случайная величина имеет хи-квадрат распределение с m = k – 1 cтепенями свободы.

Так как c² есть мера отклонения истинного распределения от гипотетического , то в качестве критерия выбирается статистика , которая при больших n (около сотни и более) имеет хи-квадрат распределение с m = k - 1 степенями свободы.

Критическая область при использовании критерия согласия Пирсона имеет вид , где х_кр > 0 есть корень уравнения , где - плотность вероятности случайной величины с m степенями свободы, a - уровень значимости критерия j. По табл. 5 Приложения для заданных значений a и m находим х_кр. Вычисляем по выборке значение критерия , где m _i - число значений из выборки, попавших в i - ый класс .

Если j_эмп Î А_кр, то гипотеза отвергается на уровне значимости a, т.е. принимается решение, вероятность ошибки которого равна a. Если j_эмп Ï А_кр, то гипотеза Н_опринимается.

З а м е ч а н и е. Если гипотетическая функция распределения зависит от l неизвестных параметров и для определения пришлось использовать оценки этих параметров, то схема применения критерия согласия Пирсона остаётся прежней, только изменяется число степеней свободы, его следует брать равным m = k – - l - 1.

П р и м е р № 1. В 1890 году был измерен рост 1000 взрослых мужчин - рабочих московских фабрик. Результаты измерений указаны в таблице, в которой верхняя строка – это диапазоны измеренных ростов в см, а нижняя – число мужчин, рост которых попал в соответствующие диапазоны:

Рост	143¸146	146¸149	149¸152	152¸155	155¸158
Число

158¸161	161¸164	164¸167	167¸170	170¸173	173¸176	176¸179

179¸182	182¸185	185¸188

Табл. 8.1

Используя критерий согласия Пирсона, на уровне значимости a = 0,01 проверить гипотезу о том, что рост мужчин имеет нормальное распределение.

Р е ш е н и е. Пусть случайная величина - рост мужчины имеет плотность вероятности . Требуется на уровне значимости a = 0,01 статистически проверить гипотезу . Эта плотность вероятности зависит от двух параметров: а и s, значит, l = 2.

В качестве неизвестных параметров и возьмем их оценки, вычисленные по статистической таблице 8.1 (- середина i - ого интервала, m_i - число мужчин, рост которых попал в i - ый интервал):

	144,5	147,5	150,5	153,5	156,5	159,5	162,5
m_i

165,5	168,5	171,5	174,5	177,5	180,5	183,5	186,5

Заметим, что

З а м е ч а н и е. Расчет и удобно производить на современных инженерных калькуляторах, имеющих соответствующие функциональные клавиши.

В качестве и берём .

Множество возможных значений случайной величины Х разобьем на 11 классов (крайние три интервала, стоящие и слева, и справа в табл. 8.1, объединяем):

Рост	-¥¸152	152¸155	155¸158	158¸161	161¸164
Число

164¸167	167¸170	170¸173	173¸176	176¸179	179¸+¥

Вычислим теоретические вероятности

где Ф(х) - функция Лапласа, значения которой приводятся в табл. 2 Приложения.

Итак,

при этом ;

Составим таблицу эмпирических чисел m_i и теоретических чисел nр_i мужчин, попавших в i - ый класс, i = 1,2,3,...11.

m_i
nр_i	11,3	28,8	65,5		174,7	197,4	174,7		65,5	28,8	11,3

Вычисляем значение критерия

Число степеней свободы равно m = k - l - 1 = 11 – 2 - 1 = 8. Для уровня значимости a = 0,01 и m = 8 по табл. 4 Приложения находим корень уравнения : х_кр = х = 20,1. Следовательно, критической областью А_кр будет открытый интервал (20,1 ; + ¥). Поскольку j_эмп Ï А_кр, то на уровне значимости a = = 0,01 принимается гипотеза о нормальном распределении роста мужчин с плотностью вероятности .

П р и м е р № 2. За время второй мировой войны на Лондон упало 537 самолётов-снарядов. Вся территория Лондона была разделена на 576 участков площадью по 0,25 кв. км. В приводимой ниже таблице указаны числа участков m_i, на которые упало х_i самолётов-снарядов:

х_i						5 и больше
m _i

Как и положено, объём выборки .

С помощью критерия согласия Пирсона проверить, согласуются ли эти данные с гипотезой о том, что число самолётов-снарядов, попавших на один участок, распределено по закону Пуассона с параметром l, значения которого равно значению выборочного среднего. Уровень значимости принять равным a = 0,05.

Р е ш е н и е. В среднем на один участок попало самолёта-снаряда. Поэтому единственный (l = 1) параметр l распределения Пуассона полагаем равным l =.

Рассмотрим случайную величину Х - число попаданий снарядов на один участок. Нулевая гипотеза, которую надо статистически проверить, записывается как .

Разобьем весь диапазон возможных значений величины Х на шесть классов:

Dх₁ - на участок не упал ни один самолёт-снаряд;

Dх₂ - на участок упал один самолёт-снаряд;

Dх₃ - на участок упало два самолёта-снаряда;

Dх₄ - на участок упало три самолёта-снаряда;

Dх₅ - на участок упало четыре самолёта-снаряда;

Dх₆ - на участок упало пять и более самолётов-снарядов.

Вычислим теоретические вероятности:

Эмпирические и теоретические числа самолетов - снарядов попавших в i -ый класс, i = 1,2,...,6 собраны в таблицу

m_i
nр_i	227,3	211,3	98,3	30,5	7,1	1,6

Вычисляем значение критерия

Число степеней свободы равно m = k - l - 1 = 6 - 1 - 1 = 4. Критическая область А_кр имеет вид: , где х_кр есть корень уравнения . По табл. 5 Приложения для a = 0,05 и m = 4 находим х_кр = 9,5. Итак, .

Поскольку j_эмп Ï А_кр, то на уровне значимости a = 0,05 принимается гипотеза Н_о, т.е. число самолётов-снарядов, упавших на один участок площадью 0,25 кв. км в Лондоне, подчиняется закону Пуассона с параметром l = 0,93.