Дистанции) между автомобилями
Метод определения минимально-безопасного расстояния
Введем некоторые определения, которые потребуются в дальнейшем.
Определение 1. Будем говорить, что столкновение автомобилей 
и 
на отрезке времени 
не произойдет, а отрезок времени будем называть безопасным (в смысле невозможности столкновения), если для любого 
из этого отрезка выполняется неравенство (2.1.15).
Определение 2. Момент времени 
будем называть моментом касания автомобилей и на отрезке времени , если 
и выполняется равенство
.
Определение 3. Момент касания будем называть опасным моментом касания, или моментом столкновения автомобилей и на отрезке времени , если выполняется условия: 
:
1) 
при 
2)
; (2.2.1)
3)при 
.
Механический смысл неравенства (2.2.1) состоит в том, что после момента касания начинает происходить деформация элементов кузова автомобилей, поэтому расстояние между центрами масс автомобилей и начинает уменьшаться.
Определение 4. Момент касания будем называть безопасным моментом касания автомобилей и на отрезке времени , если выполняются условия: :
1) 
при
2)
; (2.2.2)
3)
при 
.
Механический смысл этого определения состоит в том, что автомобиль , догнав и коснувшись передней кромкой переднего бампера задней кромки заднего бампера автомобиля в момент времени 
, или начнет двигаться с той же скоростью, что и автомобиль , или начнет отставать от автомобиля .
Отметим, что условия (2.2.2) совпадают с необходимым условием минимума функции 
на отрезке времени в момент времени =.
Определение 5. Выбранное начальное расстояние 
будем называть безопасным на отрезке времени для автомобилей и , если неравенство (2.1.15) выполняется для всех моментов времени из отрезка .
Безопасное начальное расстояние , вообще говоря, является функционалом от параметров движения автомобилей и , т. е. зависит от ускорений автомобилей 
на отрезке времени , начальных скоростей 
и 
, технического состояния, дорожных условий и т.д. Следует отметить, что если для заданного движения автомобилей мы нашли некоторое безопасное расстояние 
, то любое расстояние 
будет тоже безопасным. Так как множество безопасных расстояний S0=
длярассматриваемых движений автомобилей и ограничено снизу нулем, то существует точная нижняя граница этого множества
=
S0
(2.2.3)
такая, что любое 
является безопасным начальным расстоянием для заданных движений автомобилей и , а для любого 
автомобили и неизбежно столкнутся.
Определение 6. Наименьшее значение из множества S0,определенное равенством (2.2.3), будем называть минимально-безопасным начальным расстоянием и обозначать .
Если при движении автомобилей и водителю автомобиля , который находился в начальный момент времени 
на расстоянии от автомобиля , удается добиться того, что функция принимает на отрезке времени неотрицательные значения, т. е. выполняется неравенство (2.1.15), то в этом случае из равенства (2.1.13) следует, что
(2.2.4)
на рассматриваемом отрезке времени. Неравенство (2.2.4) означает согласно определению 1, что столкновение автомобилей и на этом отрезке времени не произойдет. Если же водителю автомобиля не удается добиться (вплоть до применения экстренного торможения) выполнения неравенства (2.2.4) в любой момент времени на отрезке , то столкновение автомобилей и необходимо произойдет. Это означает, что он неправильно выбрал начальное расстояние в начальный момент времени 
Утверждение 1. Если при движении автомобилей и функция 
принимает неотрицательные значения на отрезке времени , то столкновение автомобилей и на этом отрезке времени не произойдет, а начальное безопасное расстояние может быть любым неотрицательным числом, т. е. минимально-безопасное расстояние 
.
Доказательство. Действительно, так как 
для 
, то в силу равенства (2.1.13) функция 
и, следовательно, согласно определению 1 столкновение автомобилей ине произойдет.
В этом случае начальное расстояние между автомобилями может быть любым 
, следовательно, .
Пусть движение автомобилей и таково, что функция принимает на отрезке времени как неотрицательные, так и отрицательные значения.
Утверждение 2. Если функция принимает на отрезке времени как отрицательные, так и неотрицательные значения, то минимально-безопасное расстояние для этого отрезка времени определяется равенством
(2.2.5)
Доказательство: Так как функция , определенная равенством (2.1.14), непрерывна и дифференцируема на отрезке времени , то она необходимо ограничена и достигает своей точной нижней границы при некотором значении 
, т. е.
, (2.2.6)
так как функция принимает и отрицательные значения на рассматриваемом отрезке. Покажем, что величина 
является минимально-безопасным начальным расстоянием на отрезке . Подставляя в равенстве (3.1.13) вместо значение функции , получим
для 
, так как из определения точной нижней границы следует
для .
Таким образом, получили, что начальное расстояние 
является безопасным. Покажем, что оно является минимально-безопасным начальным расстоянием для отрезка времени .
Допустим противное. Пусть существует безопасное 
: 
<и
(2.2.7)
для. Возьмем произвольное число 
, удовлетворяющее неравенству
или
.
Из равенства (2.2.6) и свойств точной нижней границы для выбранного 
>0 найдется
,
но тогда
<
<
,
т.е. 
, что противоречит нашему предположению о том, что является безопасным расстоянием, т.е. неравенству (2.2.7). Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.
Доказанные утверждения дают практический метод нахождения минимально-безопасного начального расстояния между автомобилями и для заданного отрезка времени.
При экстренном торможении автомобиля для нахождения минимально-безопасного расстояния в качестве отрезка времени необходимо рассматривать отрезок времени 
, где 
время движения автомобиля до полной остановки.
Таким образом, для нахождения минимально-безопасного расстояния в случае, если функция может принимать на отрезке времени как положительные, так и отрицательные значения, необходимо:
1) найти все моменты времени 
подозрительные на экстремум, т.е. точки, в которых выполняется равенство
;
3) найти все точки 
(безопасные моменты касания), в которых функция достигает отрицательного минимума, тогда минимально-безопасное расстояние определяется равенством
,
если 
, и
,
если 
.
Если функция принимает только положительные значения, т.е. для всех 
, то в этом случае .
Геометрический смысл нахождения минимально-безопасного расстояния состоит в нахождении положительной величины 
(рис.2.2.1, а), б)), на
которую необходимо сдвинуть график функции вдоль оси 
вверх, чтобы график функции только касался оси 
и полностью лежал бы в первом
квадранте системы координат 
при .
Метод, основанный на доказанных утверждениях, позволяет в дальнейшем находить минимально-безопасное расстояние между автомобилями, дви-
 | |||
 | |||
Рис.2.2.1
жущимися в попутном направлении, при любом техническом состоянии автомобилей ,и любых дорожных условиях.