Упругие свойства горных пород

Напряженно-деформированное состояние горных пород

 

В трехмерной модели любой вектор напряжений раскладывается на три составляющие - одну нормальную и две касательные. Выделим эле­ментарный объем горной породы, находящийся в напряженно-деформированном состоянии (рис.3.5). Полной характеристикой этого со­стояния является тензор напряжений, т.е. совокупность всех напряжений в горной породе:

 

.

(3.3)

Из условия равновесия необходимо равенство моментов относитель­но координатных осей. Поэтому

.

Таким образом, напряженное состояние горной породы в любой точ­ке можно описать тремя парами нормальных и касательных напряжений.

Линейные и сдвиговые деформации можно разложить на составляю­щие векторы по осям координат и записать тензор деформаций, опреде­ляющий характер деформаций любой точки тела. Тензор деформации так­же симметричен, так как противоположные сдвиговые деформации (на­пример, ) равны между собой:

 

 

(3.4)

Условно напряжениям и де­формациям сопоставляют знак. При­нято, что сжимающие напряжения положительны, растягивающие - от­рицательны. Аналогичный знак имеют линейные деформации - сжа­тие положительно, растяжение отри­цательно. Касательные напряжения считаются положительными, если обеспечивают поворот тела против часовой стрелки.

В предыдущем разделе показа­но, что в площадке, перпендикулярной линии действия внешней на­грузки, касательные напряжения отсутствуют, и действует максимальное нормальное напряжение.

 

 

Рис. 5.5.Тензор напряжений

 

 

Рис.3.6. Объемное напряженное состояние горной породы

 

Тогда в объемной задаче всегда можно найти та­кое положение элементарного объема горной породы, когда на его гранях будут присутствовать только максимальные нормальные напряжения . Такие площадки, где касательные напряжения отсутствуют, дейст­вующие в них максимальные нормальные напряжения называются главными. Причем . Объемное напряженное состояние описывается следующими кругами напряжений (рис.3.6). В площадке, параллельной линии действия главного напряжения оно равно нулю и действуют только . Этому состоянию соответствует круг напряжений №1. Ана­логично, круг №2 соответствует площадке, параллельной линии действия напряжения , и круг №3 - напряжения . В теории упругости доказыва­ется, что в площадках, не параллельных ни одной из линий действия глав­ных напряжений и ориентированных под углами к соответст­вующим осям,

, (3.5)

. (3.6)

Геометрически эти напряжения соответствуют точкам, лежащим в области, заштрихованной на рис. 3.6.

 

 

Проектирование процессов разработки горных пород в большинстве случаев, так или иначе, связано с определением энергоемкости процесса деформирования или разрушения горных пород. График деформации упругой горной породы может быть представлен в следующем виде (рис.3.7). Пусть под действием силы горная порода деформировалась на величину . Совершенная при этом работа равна произведению средней силы на величину

(3.7)

Если при деформации сила равномерно изменялась от 0 до P, то

. (3.8)

 

 

Рис 3.7. График деформации

 

Графически эта работа соответствует пло­щади, ограниченной линией деформации, т.е. площади треугольника OAB (см. рис.3.7). Опре­делим удельную работу деформирования горной породы единичного объема , где - пло­щадь сечения и - высота куба породы. Тогда

(3.9)

С учетом того, что есть напряже­ние, а - относительная продольная де­формация, получим

, (3.10)

что тоже соответствует площади, ограниченной линией деформации, но в относительных координатах ( ). При использовании данной формулы возникает проблема измерения деформации . Однако в случае упругого поведения горной породы деформация прямо пропорциональна дейст­вующему напряжению. Эта зависимость называется законом Гука

. (3.11)

Здесь коэффициент пропорциональности E, соответствующий танген­су угла наклона линии деформации (см. рис. 3.7), называется моду­лем упругости (модулем Юнга), (Па).

, (3.12)

Отсюда , тогда уравнение (3.10) преобразуется к виду

(3.13)

Из уравнения (3.12) следует, что модуль упругости есть напряжение, которое нужно приложить к телу для его удлинения в два раза. Для горных пород эта величина составляет десятки миллиардов Паскалей (ГПа). Вели­чина модуля упругости зависит от характера напряжения. Так, модуль Юнга при сжатии в 1,5-4 раза больше по величине, чем при растяжении.

Для касательных напряжений также справедлив закон Гука

, (3.14)

где называется модулем сдвига. Отсюда следует, что модуль сдви­га - это напряжение, необходимое для сдвига породы на 45°.

Для каждой горной породы соотношение между продольными и по­перечными деформациями - величина постоянная, т.е. является свойством породы. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом Пуассона

(3.15)

При объемном сжатии коэффициентом пропорциональности между напряжениями и деформациями является модуль объемного (всесторон­него) сжатия

> , (3.16)

где - относительная объемная деформация.

Для идеально упругого однородного тела между этими характеристи­ками существует взаимосвязь

, (3.17)

. (3.18)

Для изотропного тела связь между напряжениями и деформациями в трехмерной модели описывается обобщенным законом Гука

 

(3.19)