Решение

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпало с центром кривизны дуги, а ось Oy была бы симметрично расположена относительно концов дуги. На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ=tdl, находящийся на выделен- ном участке, можно считать точечным.

Определим напряжен- ность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dEполя,создаваемого зарядом dQ:

где –радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Выразим вектор черезпроекции dE_xиdE_y на оси координат:

,

где и – единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием. Интегриро- вание ведется вдоль дуги длиной l.

В силу симметрии . Тогда , (1)

где ,

так как r=R=const, .

Подставим в выражение (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до p/3, а результат удвоим:

 

Выразив радиус R через длину l нити (3l=2pR), получим

(2)

 

Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Оу.

Найдем потенциал электрического поля в точке О.Сначала найдем потенциал dj, поля создаваемого точечным зарядом dQ в точке О:

dj =t dl /(4pe₀ r).

Заменим r на R и проведем интегрирование:

Так как l = 2pR/3, то

j =t /(6e₀). (3)

Произведя вычисления по формулам (2) и (3), получим

 

Пример 7. На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной плотностью t =10 нКл/м. Найти потенциал j, созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближай- шего конца на расстояние l.