Решение

Точки в которых требуется найти напряжённости электрического поля, лежат в трёх областях (см. рис.1): область I ( r1<R1), область II (R1< r2<R2), область III (r3>R2).

1. Для определения напряжённости Е1 в I области, проведём сферическую поверхность S1 радиусом r1 и восполь- зуемся теоремой Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то получим

(1)

где En – нормальная составляющая напряжённости электри- ческого поля.

Из соображения симметрии нормальная составляю- щая En должна быть равна самой напряжённости и постоянная для всех точек сферы, т.е. En =E1=const. Поэтому её можно вынести за знак интеграла:

.

Так как , то Е1=0, т.е. напряжённость электрического поля внутри первой сферы равна нулю.

2. В области II проведём сферическую поверхность радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится заряд Q1, то для неё, согласно теореме Гаусса, можно записать равенство

.

Так как En =E2=const, то из условий симметрии следует

, или ,

откуда

.

Подставив сюда выражение для площади сферы, получим

. (3)

3. В области III проведём сферическую поверхность радиусом r3 . Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1+Q2. Cледовательно для неё теорема Гаусса имеет вид

.

Так как En =E3=const, то из условий симметрии следует

. (4)

Выразив все величины в системе СИ и произведя вычисле- ния, получим

, .

4. Построим график Е(r). В области I (r1<R1) напряжён- ность Е = 0. В области II (R1<r1<R2) напряжённость Е2(r) изменяется по закону 1/r2. В точке r=R1 напряжённость

.

В точке r=R2 (r стремится к R2 слева)

.

В области III (r>R2) Е3(r) изменяется по закону 1/r2, причём в точке r=R2 (r стремится к R2 cправа)

.

Таким образом, функция Е(r) в точках r=R1 и r=R2 терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на рис.2.

 
 

 

 

 


Пример 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окруж- ности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью t =10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал j электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.