Момент инерции и момент импульса твердого тела

Моментом инерции тела относительно оси z является сумма произведений элементарных масс на квадраты расстоя- ний от них до данной оси:

, (1.29)

где и - масса i-й точки и ее расстояние от оси.

Момент инерции есть мера инертности твердого тела к изменению его угловой скорости. Чем больше момент инерции, тем труднее изменить его угловую скорость. Следовательно, момент инерции тела при вращательном движении играет такую же роль, что и масса при поступатель- ном движении.

Момент инерции тела является величиной аддитивной. Вычисление момента инерции тела производится по формулам

, (1.30)

где dm и dV – масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии r от оси z, r – плотность тела в данной точке.

Моменты инерции некоторых однородных тел правиль- ной геометрической формы относительно оси z, проходящей через центр массы тела, приведены в таблице.

Момент инерции I_x тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела I_c относительно парал- лельной ей оси, проходящей через центр масс С, и произведе- ния массы тела m на квадрат расстояния d между этими осями(теорема Штейнера):

I_x = I_c + md². (1.31)

Твердое тело	Ось	Момент инерции
Кольцо радиусом R	Совпадает с осью кольца	I = m R²
Сплошной цилиндр радиусом R	Совпадает с осью цилиндра	I = m R²
Шар радиусом R	Проходит через центр шара	I = m R²
Тонкий стержень длиной l	Перпендикулярна стержню, проходит через его центр	I = m l²

Момент импульса является основной количественной мерой вращательного движения тела. Различают момент импульса тела относительно неподвижной точки (полюса) и относительно неподвижной оси.

Моментом импульса материальной точки относительно точки Оназывается векторное произведение радиус - вектора , проведенного из полюса О в место нахождения материаль- ной точки, на импульс этой точки (рис. 1.8):

, (1.32)

где m и – масса и скорость материальной точки.

Вектор перпендикулярен плоскости в которой располо- жены векторы от и , а его направление определяется правилом правого винта:при вращении рукоятки буравчика от к , его поступательное движение совпадает с направлением (рис. 1.8)

Рис.1.8

Модуль момента импульса равен:

где a - угол между и .

Моментом импульса системы относительно неподвижной точки О называется геометрическая сумма моментов импульса относительно той же точки О всех материальных точек системы

, (1.33)

где , , - радиус-вектор и импульс i-й материальной точки, а n – общее число этих точек в системе.

Моментом импульса системы относительно неподвиж- ной оси z называется величина L_z, равная проекции на эту ось

вектора момента импульса системы относительно какой либо точки О, принадлежащей этой оси:

. (1.34)

Выбор положения точки О на оси z не влияет на численное значение L_z. В частности, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью , то его момент импульса относительно этой оси:

L_z = I_z w _z. . (1.35)

Здесь I_z – момент инерции тела относительно оси z, а w_z - проекция вектора на ось z. Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость.