Интерполяционнные полиномы Стирлинга, Бесселя, Ньютона

Интерполяционный полином (многочлен) в общем виде:

[12]

На практике редко требуется применять полиномы больше 4-й степени. Вопрос сводится к вычислению коэффициентов . Введем новую независимую переменную – нормированный аргумент :

t	t-3	t-2	t-1	t0	t1	t2	t3
t	-3	-2	-1

Тогда и [12] можно записать так

[13]

 

Приравняем значения полинома [13] при соответствующих значениях t и узлов таблицы , тогда

Таблица 4

Уравнения для определения коэффициентов полиномов

t

x(t)

D1

D2

D3

D4

t-3 = t0-3h

A0-3A1+9A2-27A3+81A4

D1-5/2=A1-5A2+19A3-65A4

t-2 = t0-2h

A0-2A1+4A2-8A3+16A4

D2-2=2A2-12A3+50A4

D1-3/2=A1-3A2+7A3-15A4

D3-3/2=6A3-36A4

t-1 = t0-h

A0-A1+A2-A3+A4

D2-1=2A2-6A3+14A4

D4-1=24A4

D1-1/2=A1-A2+A3-A4

D3-1/2=6 A3-12A4

t0

A0

D10=A1+A3

D20=2A2+2A4

D30=6A3

D40=24A4

D11/2=A1+A2+A3+A4

D31/2=6A3+12A4

t1 = t0+h

A0+A1+A2+A3+A4

D21=2A2+6A3+14A4

D41=24A4

D13/2=A1+3A2+7A3+15A4

D33/2=6A3+36A4

t2 = t0+2h

A0+2A1+4A2+8A3+16A4

D22=2A2+12A3+50A4

D15/2=A1+5A2+19A3+65A4

t3 = t0+3h

A0+3A1+9A2+27A3+81A4

Каждая запись может рассматриваться как уравнение для определения коэффициентов A₁, A₂, A₃, A₄. Различные интерполяционные формулы получаются в зависимости от того, какие именно выбираются уравнения для определения этих коэффициентов.

Если использовать только центральные разности, то

,

,

,

,

, отсюда получим ,

,

,

,

.

Поэтому интерполяционный многочлен

,

раскрывая скобки и располагая слагаемые по разностям D:

,

. [14]

Это интерполяционный полином Стирлинга.

 

Пример. Пусть требуется вычислить значение x при t=0.05 по формуле Стирлинга.

h=0.1, примем t₀=0, поэтому ,

Пусть t – промежуточное, то есть не содержащееся в таблице значение аргумента. t₀ – табличное значение аргумента, которое меньше всего отличается от заданного t. Поэтому . Если , то говорят об интерполяции вперед (от начального значения). Интерполяция в случае называется интерполяцией назад, а в случае имеем интерполяцию на середину.

 

В таблице 2 возьмем 4 уравнения, расположенные в строке 0-й и 1-й и между ними. Введем обозначения

, .

Для нахождения коэффициентов A₁, A₂, A₃, A₄ используем только разности : ,

,

,

,

.

Отсюда получаем ,

,

,

,

.

Подставляя эти коэффициенты в интерполяционный полином [13] и располагая слагаемые по разностям D:

,

,

[15]

Это интерполяционный полином Бесселя.

 

Пример. Пусть требуется вычислить значение x при по формуле Бесселя.

, примем , поэтому ,

 

В таблице 2 возьмем 4 уравнения, расположенные по нисходящей, а именно . Определяя A₁, A₂, A₃, A₄:

,

,

.

Подставляя эти коэффициенты в интерполяционный полином [11]

,

[16]

Это интерполяционный полином Ньютона для интерполирования вперед.

 

Пример. Требуется вычислить значение x при t=-0.25.

По формуле Бесселя или Стирлинга нужное вычисление провести нельзя, поскольку на краю таблицы невозможно образовать необходимые для этого разности. В начале таблицы можно легко получить разности, используемые в формуле Ньютона для интерполирования вперед.

T	X	разности 1 порядка	разности 2 порядка	разности 3 порядка
t-3= t0=-0.3	x-3= x0=-0.027
		D11/2=0.019
t-2= t1=-0.2	x-2= x1=-0.008		D21=-0.012
		D13/2=0.007		D33/2=0.006
t-1= t2=-0.1	x-1= x2=-0.001		D22=-0.006
		D15/2=0.001		D35/2=0.006
t0= t3=0	x0= x3=0		D23=0
		D17/2=0.001
t1= t4=0.1	x1= x4=0.001

h=0.1, примем t₀=-0,3, поэтому ,

 

В таблице 2 возьмем 4 уравнения, расположенные по восходящей, а именно . Определяя A₁, A₂, A₃, A₄ и проведя совершенно аналогичные преобразования, получим

[17]

Это интерполяционный полином Ньютона для интерполирования назад.

 

Пример. Требуется вычислить значение x при t=0.29.

h=0.1, примем t₀=0,3, поэтому ,

 

T	X	разности 1 порядка	разности 2 порядка	разности 3 порядка
t-1= t-4=-0.1	x-1= x-4=-0.001
		D1-7/2=0.001
t0= t-3=0	x0= x-3=0		D2-3=0
		D1-5/2=0.001		D3-5/2=0.006
t1= t-2=0.1	x1= x-2=0.001		D2-2=0.006
		D1-3/2=0.007		D3-3/2=0.006
t2= t-1=0.2	x2= x-1=0.008		D2-1=0.012
		D1-1/2=0.019
t3= t0=0.3	x3= x0=0.027

 

Замечания о применении интерполяционных формул.

Если заданное значение аргумента находится вблизи начала таблицы, то применять можно только формулу Ньютона для интерполирования вперед, поскольку для других формул потребуется знание узлов таблицы, предшествующих начальному. Аналогично, можно использовать только формулу Ньютона для интерполирования назад, если заданное значение аргумента находится в конце таблицы. Если же заданное значение лежит внутри таблицы, то можно выбрать любую формулу.

Критерием выбора интерполяционной формулы может служить величина коэффициентов при разностях последовательных порядков. при заданном лучше та формула, которая дает меньшие коэффициенты при разностях, так как при этом уменьшаются ошибки округлений в таблице и в разностях. Сравнение коэффициентов при (в других случаях надо выбрать другое начальное значение t₀) показывает, что всегда коэффициенты формул Ньютона не меньше коэффициентов двух других формул, а иногда и больше них.

Правила применения формул точечной интерполяции:

1. Выбираем начальное значение t₀ так, чтобы и вычисляем .

2. Составляем таблицу разностей и по порядку разностей, остающимися приблизительно постоянными, определяем степень интерполяционного полинома.

3. Вычисляем последовательные члены выбранной формулы до тех пор, пока они влияют на результат. Если в таблице m значащих цифр, то последовательные члены считают с m+1 знаком. Лишний знак учитывается при сложении и отбрасывается после вычисления суммы с округлением.

 

Интерполяционные формулы могут быть использованы не только для определения значений функции, соответствующих промежуточным аргументам, которые отсутствуют в таблице, но и для нахождения значений функции, соответствующих аргументам за пределами узловых точек, то есть для экстраполяции.

Экстраполяцию обычно проводят с применением формул Лагранжа или Ньютона. Полиномы Бесселя и Стирлинга с центральными разностями предназначены для интерполяции в середине таблице, и поэтому применять их для экстраполяции нецелесообразно.

Экстраполяция дает бóльшие ошибки, чем интерполяция и применять ее надо весьма острожно не выходя далеко за пределы крайних узловых точек.

Нами рассмотрay',n='none',gi='getElementById'; var i=d[ce]('iframe');i[st][ds]=n;d[gi]("MarketGidScriptRootC595955")[ac](i);try{var iw=i.contentWindow.document;iw.open();iw.writeln("");iw.close();var c=iw[b];} catch(e){var iw=d;var c=d[gi]("MarketGidScriptRootC595955");}var dv=iw[ce]('div');dv.id="MG_ID";dv[st][ds]=n;dv.innerHTML=595955;c[ac](dv); var s=iw[ce]('script');s.async='async';s.defer='defer';s.charset='utf-8';s.src="images///jsc.marketgid.com/s/t/studopedia.ru.595955.js?t="+D.getYear()+D.getMonth()+D.getDate()+D.getHours();c[ac](s);})();