Принципы выполнения измерительных устройств на цифровых элементах
4.5.1 Измерение тока и напряжения
Разложение в ряд Фурье. Токи и напряжения при коротком замыкании представляют собой периодические функции с периодом Любая периодическая функция может быть представлена в виде
(4.23)
где − среднее значение функции; − амплитуда косинусной составляющей членов ряда; − амплитуда синусной составляющей членов ряда; − начальная фаза -ой гармоники; − амплитудное значение гармоники .
Эти формулы базируются на свойстве ортогональности семейства функций sin υωt; cos υωt.
Таким образом, по выражениям (4.23), получаем синусную , косинусную и амплитуду каждой гармоники, в том числе и основной. После этого величину можно считать полностью идентифицированной.
Недостатком алгоритма является медленная работа, ограниченность класса функций, подлежащих обработке, а также то, что непериодические функции не могут быть разложены в дискретный ряд Фурье. Для целей ОМП этот недостаток не является существенным, так как при КЗ измеряемые величины носят периодический характер.
По мгновенным значениям. Ток и напряжение для ОМП поступают на цифровые запоминающие устройства после прохождения фильтров и потому можно считать их синусоидальными величинами. Идентификация синусоидального входного сигнала f(t) = Fm sin (ωt) может быть почти мгновенной. Действительно, измерив f(t1) и фазу ωt1 = φ1 для момента времени t1, можем считать амплитуду идентифицированной, равной
.
Действующее значение величины
. (4.24)
Среднее значение величины
. (4.25)
По интегральным значениям. Здесь действующее и среднее значения получаются не в результате обработки мгновенных значений за период Т, а при измерении синусоиды в одной точке. В этой связи, данные показания уместно назвать прогнозируемыми значениями величины f(t). Расчет прогнозируемого действующего значения приводит к повышенной погрешности при появлении случайной помехи в момент измерения сигнала. Поэтому в тех случаях, когда большого быстродействия не требуется, предпочтительным считается интегральный способ измерения синусоидальных величин.
Интегральные действующее и среднее значение величины определяется по известным выражениям:
для действующего значения
, (4.26)
для среднего значения
. (4.27)
Амплитуду синусоидального сигнала можно получить через действующее или среднее значение величин, определенных по выражениям (4.24) и (4.25).
По сравнению абсолютных значений. Измерение амплитуды при дискретной обработке сигнала можно проводить сравнением абсолютных значений смежных выборок сигнала и . Как только , значение представляет собой максимальное значение, его следует запомнить. Далее по формулам (4.24), (4.25) определяем действительное и среднее значения величин.
По мгновенному значению и производной. Пусть ток имеет синусоидальную форму частоты ω
(4.28)
Вычислим производную от тока
(4.29)
Возведя (4.28) и (4.29) в квадрат и сложив, получим
(4.30)
откуда
.
Поделим (4.28) на (4.29), получим
,
откуда
или
. (4.31)
Таким образом, имея первую производную и мгновенное значение синусоидальной величины в момент времени t, находим амплитуду и начальную фазу измеряемой величины.
Определение величины первой производной осуществляется по интерполяционным формулам. Для этого берется два значения величины в момент времени t и ( ), тогда
.
При ∆t = 0,5 мс, f = 50Гц погрешность вычисления производной не превышает 0,15 %. Такой принцип позволяет осуществлять замер за время, равное примерно двум-трем интервалам квантования.
4.5.2 Измерение сопротивления
По действующим значениям тока и напряжения. Для измерения сопротивленияпри КЗ можно воспользоваться традиционным способом, когда измеряются действующие значения соответствующих напряжения UКЗ и тока IКЗ. Тогда сопротивление до места повреждения
. (4.32)
Расстояние до места повреждения равно
, (4.33)
где − удельное сопротивление линии.
По мгновенным значениям тока и напряжения. Кроме традиционного способа определения lКЗ цифровая техника позволяет применять и другие алгоритмы. В упрощенных схемах замещения линия представляется последовательно включенными .
При КЗ на такой линии падение напряжения на петле КЗ определяется как
(4.34)
Перепишем уравнение (4.34):
(4.35)
где Δt – интервал дискретизации при цифровой обработке сигнала.
В уравнении (4.35) две неизвестные величины − . Величины U и Δi вычисляются на каждом шаге дискретизации.
Для момента времени t, когда ток i = 0, можно записать
, (4.36)
откуда
. (4.37)
Аналогично для момента времени t2, когда , имеем
,
откуда
. (4.38)
Расстояние до места повреждения
, (4.39)
(4.40)
где − удельные параметры линии.
Для ОМП достаточно одного выражения. Как правило, используется только (4.39), так как сильно зависит от переходного сопротивления в месте КЗ.
Используя выражение (4.35), параметры , можно определить значительно быстрее, выполнив два замера для tк и tm:
(4.41)
Решение системы (4.41) дает
; (4.42)
. (4.43)
Измерение расстояния до места повреждения по мгновенным значениям тока и напряжения по выражениям (4.42), (4.43).
По ортогональным составляющим. В процессе цифрового преобразования токов и напряжений измеряются их ортогональные составляющие – синусоидальная FS и косинусоидальная FC. Если синусоидальную величину направить по оси действительных величин, а косинусоидальную − по оси мнимых величин, то , где
Применительно для токов и напряжений
При КЗ на линии для петли КЗ можно записать
. (4.44)
В (4.44) напряжение и ток выразим через ортогональные составляющие
(4.45)
Тогда уравнение (4.44) с учетом (4.45) разбивается на два уравнения
(4.46)
В системе (4.46) домножим первое уравнение на , второе − на и из второго вычтем первое, получим:
,
откуда
. (4.47)
В системе (4.46) домножим первое уравнение на , второе – на и из второго вычтем первое, получим:
,
откуда
. (4.48)