Энергетический спектр 2D-электронного газа

Энергетический спектр 3D-электронного газа

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ И ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ОБЪЕКТАХ

Важнейшие квантовомеханические характеристики тел - это энергетически спектр электронов E и плотность квантовых состояний g(Е). Эти характеристики определяют электронные свойства объекта и реакцию на внешние воздействия.

Энергетический спектр – это совокупность возможных значений энергии частицы в данных условиях. Если энергия квантуется, то энергетический спектр называется дискретным. Если энергия может принимать непрерывный ряд значений, то спектр называется сплошным (непрерывным).

Плотность состояний g(Е) – это число квантовых состояний электронов на единицу объема, площади или длины (в зависимости от размерности объекта), отнесенное к единичному интервалу энергий:

,

где dn(E) – число возможных состояний в интервале энергий от E до E + dE. Знание плотности состояний g(Е) и вероятности их заполнения электронами f(Е) позволяет установить распределение электронов рассматриваемой системы по квантовым состояниям и описать электрические, оптические и некоторые другие свойства системы.

Электроны обладают полуцелым спином , поэтому вероятность заполнения ими квантовых состояний определяется статистикой Ферми-Дирака и подчиняется принципу Паули.

В неограниченном кристалле электроны могут свободно двигаться в любом направлении. Энергия электрона

,

где p и k - квазиимпульс и квазиволновой вектор электрона.

В пределах зоны проводимости величина E может принимать практически непрерывный ряд значений. Расстояние между соседними уровнями в энергетической зоне ~10^-22 эВ.

 

 

График функции g(Е) - парабола:

g(Е) = CE^1/2.

Плотность состояний мала у дна зоны и увеличивается с ростом Е. В пределах одной энергетической зоны функции E(k_x, k_y, k_z) и g(Е) непрерывны, поэтому электронные свойства 3D-кристалла под влиянием внешних воздействий изменяются непрерывно.

Квантовая яма (2D-электронный газ). Движение электронов ограничено отрезком d_y в направлении оси y. Энергия движения в направлении y квантуется (одномерная бесконечно глубокая потенциальная яма ширины d_y):

 

Движение характеризуется единственным квантовым числом n. Если яма бесконечно глубока, то на ее ширине d_y укладывается целое число l_n/2. Устойчивым состояниям электрона соответствует стоячая волна, образованная падающей и отраженной от стенок ямы волной де Бройля. Величины E_n называются квантоворазмерными уровнями.

Энергия движений вдоль осей x и z не квантуется и определяется такими же выражениями, как для свободной частицы. Полная энергия электрона:

.

Энергетический спектр электрона в квантовой яме двухмерного нанообъекта дискретно-непрерывный. Каждому размерному уровню E_n соответствует множество возможных значений E (подзона) за счет свободного движения электрона вдоль осей x и z. Эта совокупность энергий называется двухмерной подзоной размерного квантования.

 

 

График зависимости E(k_x, k_z) – система параболоидов; дно n-го параболоида соответствует уровню E = E_n.

 

Зависимость g(Е) имеет ступенчатый характер. Каждая размерная подзона вносит одинаковый вклад, равный , в величину плотности состояний.

 

Строго говоря, модель бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы справедлива только для движения электрона в тонкой пленке при наноразмерной толщине d. Индивидуальную протяженную плоскопараллельную пленку нанометровой толщины реализовать трудно. На практике в наноразмерных структурах создаются области, где движение носителей ограничено в одном измерении, и можно считать, что эти носители находятся в одномерной потенциальной яме (например, электроны в нанометровом слое узкозонного материала между двумя слоями широкозонного).

Электронный газ в квантовой нити (1D-газ)

Полная энергия электрона равна

 

,

где E_mn – энергия размерных уровней. Положение каждого из них зависит от двух квантовых чисел m и n, а также от величин d_y, d_z.

Зона проводимости в квантовой нити разбивается на одномерные подзоны. Плотность состояний на единицу длины g(Е) имеет ряд резких пиков, соответствующих размерным уровням. Это означает, что большинство электронов в подзоне имеет энергии вблизи соответствующего размерного уровня.

Зависимость энергии от величины волнового вектора и плотности состояний от энергии для квантовой нити

Электронный газ в квантовой точке (0D-газ)

Энергия свободных электронов должна квантоваться для движений во всех трех измерениях. Энергетический спектр электронов в квантовой точке полностью дискретен, как у отдельного атома. Энергия

 

Энергетический спектр электронов состоит из отдельных размерных уровней E_lmn. Величина E_lmn зависит от трех квантовых чисел и размеров d_x, d_y, d_z. График плотности состояний g(Е) в квантовой точке имеет так называемый d-образный вид:

g(Е) = ¥, если E = E_lmn (E совпадает с размерным уровнем);

g(Е) ® 0, если E ¹ E_lmn.

Функционирование многих приборных структур наноэлектроники определяется описанными особенностями энергетических спектров квантоворазмерных элементов. Рассмотренное квантование энергии наблюдается только при размерах объектов порядка длины волны де Бройля (хотя бы в одном измерении)

 

На рисунке показаны энергетические диаграммы и плотности состояний низкоразмерных структур в сравнении с трехмерной структурой.