Туннельный эффект.
Энергетический спектр частицы в наноразмерной потенциальной яме дискретен. Этот квантовый эффект лежит в основе функционирования многих наноэлектронных структур.
Частица в прямоугольной потенциальной яме
Волновая функция. Уравнение Шредингера
Начальные элементы квантовой механики
См. записи лекции с описанием эксперимента по интерференции электронов. В литературе: фейнмановские лекции, 3-4 том.
Исходные принципы квантовой механики:
1. Вероятность события в идеальном опыте дается квадратом абсолютной величины комплексного числа j, называемого амплитудой вероятности. Т.о., P = .
2. Если событие может произойти несколькими взаимно исключающими способами, то амплитуда вероятности события – это сумма амплитуд вероятностей каждого отдельного способа. Возникает интерференция: j = j1 + j2 , P = .
3. Если ставится опыт, позволяющий узнать какой из этих взаимно исключающих способов осуществляется, то вероятность события – это сумма вероятностей каждого отдельного способа. Интерференция отсутствует. P = P1 + P2.
Общая формулировка принципа неопределенности: нельзя создать прибор, определяющий, какое из двух взаимно исключающих событий осуществилось без того, чтобы в то же время не разрушилась интерференционная картина.
Принцип неопределенности в формулировке Гейзенберга: при определении x-компоненты импульса тела с неопределенностью Dpx, нельзя одновременно определить координату x тела с точностью, большей, чем Dx = h/Dp.
С любой частицей ассоциируется волновое поле, амплитуда которого задается функцией Ψ(x,t), известной как волновая функция.
Волновая функция имеет вероятностную интерпретацию и квадрат ее модуля пропорционален вероятности (на единицу длины) нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени.
.
.
Нормировка:
Если волновая функция зависит от местоположения и времени, то используется зависящее от времени уравнение Шредингера:
.
Если рассматривается стационарное состояние, в котором Ψ и U не являются функциями времени, то приходим к стационарному виду уравнения Шредингера:
.
E = – полная энергия.
H = - оператор Гамильтона.
- стационарное уравнение Шредингера.
Тело, подчиняющееся законам классической физики, при движении в потенциальной яме имеет непрерывный энергетический спектр, то есть эго энергия E изменяется непрерывным образом.
Поведение частицы в потенциальной яме строго описывается с помощью уравнения Шредингера. Должна быть задана потенциальная энергия U(x, y, z).
Рассмотрим одномерный случай (U зависит только от x) и яму простейшей прямоугольной формы.
U = 0, 0 < x < L,
U = ¥, y(x) = 0 x £ 0, x ³ L.
.
Так как неизвестно, где точно находится частица внутри ямы в каждый момент времени, нельзя использовать величины, зависящие от времени. Применяем стационарное уравнение Шредингера:
- это суперпозиция двух волн в яме, которые распространяются в противоположных направлениях вдоль оси x. Волновая функция представлена в виде стоячих волн.
Для определения A и B используем граничные условия:
x = 0: y(x) = 0, сл-но A + B = 0 и A = -B.
x = L: y(x) = 0, сл-но
Энергия квантуется на дискретные значения.
Частица не может иметь энергию, равную нулю, что противоречит классической механике.
,
и плотность вероятности
.
Значение A находим из условия нормирования:
.
.
Если высота потенциального барьера конечна (U0), то амплитуда волновой функции при x = 0 и x = L не обращается в нуль и имеет продолжение внутри барьера. В этом случае частица может проникать внутрь барьера при энергиях E < U0, что противоречит закону сохранения энергии и не наблюдается в макромире. Если ширина барьера не бесконечна, то имеется отличная от нуля вероятность проникновения частицы за пределы барьера – туннельный эффект. Т.эффект лежит в основе действия многих схемных элементов наноэлектроники.