Определение количества повторных измерений контролируемых параметров.

Вывод

Шаг 10

Шаг 9

Шаг 8

Шаг 7

Шаг 6

Шаг 5

Шаг 4

Шаг 3

Шаг 2

Шаг 1

Проведем отсечение некоторых ветвей МВГ.

1.Построим z-размерную квадратную матрицу b_ij.

2. Определим наиболее раннее начало модуля z_k.

или =>

3. Определим длины путей, которые ведут от вершины z_j к миноранте.

T(L_k) =

или

4. Полученные данные сведем в таблицу №3:

Таблица №3

z_i	t_i	U	t_ij
z₀		(0, 1)
z₁		(0, 2)
z₂		(1, 3)
z₃		(2, 4)
z₄		(2, 5)
z₅		(3, 4)
z₆		(4, 6)
		(5, 6)

5. Расчет нижних границ для подмножества вариантов W(S_k):

где t^*(S_k)=Στ_i + Στ_kl .

S₀, z₀;

N(S₁) = {z₁,z₂};

Y(S₁) = {z₀};

t*(S₀) = τ₀ = 0;

T_оц(S₀) = 0 + max {33 + 0; 16 + 0} = 33.

S₁, z₁;

N(S₁) = {z₂,z₃};

Y(S₁) = {z₀,z₁};

t*(S₁) = τ₀ + τ₁ + t₀₁ = 0 + 3 + 0 = 3;

T_оц(S₁) = 3 + max {16 + 0; 20 + 13 - 3} = 3 + 33 = 33.

S₂, z₂;

N(S₂) = {z₁,z₅};

Y(S₂) = {z₀,z₂};

t*(S₂) = τ₀ + τ₂ + t₀₂ = 0 + 5 + 0 = 5;

T_оц(S₂) = 5 + max {33 + 0; 8 + 8 - 5} = 5 + 33 = 38.

S₃, z₂;

N(S₃) = {z₃,z₅};

Y(S₃) = {z₀,z₁,z₂};

t*(S₃) = τ₀ + τ₁ + τ₂ + t₀₁ + t₁₂ = 0 + 3 + 5 + 0 + 0 = 8;

T_оц(S₃) = 8 + max {20 + 13 - 8; 8 + 8 - 8} = 8 + 25 = 33.

S₄, z₃;

N(S₄) = {z₂};

Y(S₄) = {z₀,z₁,z₃};

t*(S₄) = τ₀ + τ₁ + τ₃ + t₀₁ + t₀₃ = 0 + 3 + 7 + 0 + 10 = 20;

T_оц(S₄) = 20 + max {16 + 0} = 36.

S₅, z₃;

N(S₅) = {z₄,z₅};

Y(S₅) = {z₀,z₁,z₂,z₃};

t*(S₅) = τ₀ + τ₁ + τ₂ + τ₃ + t₀₁ + t₁₂ + t₂₃ = 7 + 5 + 3 + 0 + 0 + 0 = 15;

T_оц(S₅) = 15 + max {1 + 32 - 15; 8 + 0} = 15 + 18 = 33.

S₆, z₅;

N(S₅) = {z₃};

Y(S₅) = {z₀,z₁,z₂,z₅};

t*(S₅) = τ₀ + τ₁ + τ₂ + τ₅ + t₀₁ + t₁₂ + t₂₅ = 8 + 5 + 3 + 0 + 0 + 3 = 19;

T_оц(S₅) = 19 + max {20 + 0} = 39.

S₇, z₄;

N(S₇) = {z₅};

Y(S₇) = {z₀,z₁,z₂,z₃,z₄};

t*(S₇) = τ₀ + τ₁ + τ₂ + τ₃ + τ₄ + t₀₁ + t₁₂ + t₂₃ + t₃₄ = 1 + 7 + 5 + 3 + 0 + 0 + 0 + 12 = 28;

T_оц(S₇) = 28 + max {8 + 0} = 36.

S₈, z₅;

N(S₈) = {z₄};

Y(S₈) = {z₀,z₁,z₂,z₃,z₅};

t*(S₈) = τ₀ + τ₁ + τ₂ + τ₃ + τ₅ + t₀₁ + t₁₂ + t₂₃ + t₃₅ = 8 + 7 + 5 + 3 + 0 + 0 + 0 + 0 = 23;

T_оц(S₈) = 23 + max {1 + 32 - 20} = 33.

S₉, z₄;

N(S₉) = {z₆};

Y(S₉) = {z₀,z₁,z₂,z₃,z₅,z₄};

t*(S₉) = τ₀ + τ₁ + τ₂ + τ₃ + τ₅ + τ₄ + t₀₁ + t₁₂ + t₂₃ + t₃₅ + t₅₄ = 0 + 3 + 5 + 7 + 8 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 24;

T_оц(S₉) = 24 + max {0 + 33 - 24} = 33.

Таким образом, мы получили дерево решений (рисунок 5).

Рисунок 4 – Граф решений

Таблица №4 – Оценки нижних границ

S	z_i	N(S_k)	Y(S_k)	t*(S_k)	T_оц(S_k)
S0	z0	z1z2	z0
S1	z1	z2z3	z0z1
S2	z2	z1z5	z0z2
S3	z2	z3z5	z0z1z2
S4	z3	z2	z0z1z3
S5	z3	z4z5	z0z1z2z3
S6	z5	z3	z0z1z2z5
S7	z4	z5	z0z1z2z3z4
S8	z5	z5	z0z1z2z3z5
S9	z4	z6	z0z2z2z3z5z4

Наряду с ручным счетом, решение задачи реализовано с помощью программного алгоритма, написанного на языке программирования Python версии 2.7.

Листинг программы представлен в приложении 1 (c. 35).

Для работы программа требует файл под названием “data” с исходными данными в следующем виде:

7 - кол-во элементов

0 3 5 7 1 8 0 - тау

-1 0 0 -1 -1 -1 -1 - матрица t

-1 -1 -1 10 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -1 7 3 -1

-1 -1 -1 -1 12 -1 -1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 0

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

0 1 1 0 0 0 0 - матрица связей графа

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0

Результат работы программы:

$ python main.py

Рисунок graph.png сохранен

Рисунок variant_tree.png сохранен

Построим z-размерную матрицу bij:

-∞ 0 0 -∞ -∞ -∞ -∞

-∞ -∞ -∞ 13 -∞ -∞ -∞

-∞ -∞ -∞ -∞ 12 8 -∞

-∞ -∞ -∞ -∞ 19 -∞ -∞

-∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ 1

-∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ 8

-∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞

Определим более раннее время начала модуля zk.

Tn(z0) = 0

Tn(z1) = 0 + 0 = 0

Tn(z2) = 0 + 0 = 0

Tn(z3) = 0 + 13 = 13

Tn(z4) = 0 + 12 = 12

Tn(z4) = 13 + 19 = 32

max(Tn(z4)) = 32

Tn(z5) = 0 + 8 = 8

Tn(z6) = 32 + 1 = 33

Tn(z6) = 8 + 8 = 16

max(Tn(z6)) = 33

Определим длины путей, которые ведут от вершины zk к миноранте.

T(L*(z0)) = 0 + 0 + 3 + 10 + 7 + 12 + 1 + 0 = 33

T(L*(z0)) = 0 + 0 + 5 + 7 + 1 + 0 = 13

T(L*(z0)) = 0 + 0 + 5 + 3 + 8 + 0 = 16

max(T(L*(z0))) = 33

T(L*(z1)) = 3 + 10 + 7 + 12 + 1 + 0 = 33

T(L*(z2)) = 5 + 7 + 1 + 0 = 13

T(L*(z2)) = 5 + 3 + 8 + 0 = 16

max(T(L*(z2))) = 16

T(L*(z3)) = 7 + 12 + 1 + 0 = 20

T(L*(z4)) = 1 + 0 = 1

T(L*(z5)) = 8 + 0 = 8

T(L*(z6)) = 0

Полученные данные сведем в таблицу.

z τ Tn TL U t

z0 0 0 33 (0, 1) 0

z1 3 0 33 (0, 2) 0

z2 5 0 16 (1, 3) 10

z3 7 13 20 (2, 4) 7

z4 1 32 1 (2, 5) 3

z5 8 8 8 (3, 4) 12

z6 0 33 0 (4, 6) 0

(5, 6) 0

Оценки нижних границ:

S z N Y t* Tоц

S0 z0 12 0 0 33

S1 z1 23 01 3 33

S2 z2 15 02 5 38

S3 z2 35 012 8 33

S4 z3 2 013 20 36

S5 z3 45 0123 15 33

S6 z5 3 0125 19 39

S7 z4 5 01234 28 36

S8 z5 4 01235 23 33

S9 z4 6 012354 24 33

Рисунок solve_tree.png сохранен

Файл graph.png показан на рисунке 5.

Рисунок 5 – Автоматически построенный программой исходный граф

Файл varint_tree.png показан на рисунке 6.

Рисунок 6 – Автоматически построенный программой граф вариантов проведения проверок

Файл solve_tree.png показан на рисунке 7.

Рисунок 4 – Автоматически построенный программой граф решений

Оптимальному процессу контроля соответствует следующая стратегия прохождения модулей {z₀,z₁,z₂,z₃,z₄,z₅,z₆}. При этом общее время контроля составляет Т = 33 единицы.

Результаты ручного решения задачи идентичны результатм, полученным с помощью созданного программного алгоритма.

Теоретическая часть

Как правило, на автоматизированный контроль объектов отводится определенное время, между тем при однократных измерениях выбранного количества контролируемых параметров это время полностью не используется, т. е. остается некоторый избыток времени. Эту избыточность времени можно использовать в целях повышения достоверности результатов автоматизированного контроля сложных объектов применением многократных (повторных) измерений контролируемых параметров. Таким образом, возникает задача оптимального использования временной избыточности или, что то же самое, при контроле совокупности параметров возникает задача определения оптимального количества повторных измерений, обеспечивающего максимальную достоверность результатов контроля.

Рассмотрим две следующие задачи:

1. Требуется обеспечить максимально возможную достоверность результатов контроля при условии, что суммарное время измерения контролируемых параметров не превысит некоторой величины.

2. Требуется обеспечить не менее, чем заданную достоверность результатов контроля при минимальном суммарном времени измерения контролируемых параметров.

Введем следующие обозначения:

Р - достоверность результатов контроля объекта (вероятность получен и я правильных результатов, - заданное значение);

Т – суммарное время измерения всех контролируемых параметров ( - заданное значение);

m - количество контролируемых параметров;

- количество повторных измерений i-го параметра;

- время одного измерения i-гo параметра;

- достоверность результатов контроля i-го параметра при -кратном измерении.

Тогда первая задача может быть сформулирована следующим образом.

Найти

(3.13)

При условии, что выполняется ограничение

(3.13)

Практическая часть

Дано:

Характеристики параметров, допуски и погрешности измерений.

Таблица №5. Исходные данные

№ параметра
δ_изм/ δ_пар	0.3	0.2	0.4	0.1	0.5
t_i

Таблица №6. Зависимость вероятности получения правильных результатов от величин δ_изм/ δ_пар для случая усреднения результатов n и повторных измерений .

n	δ_изм / δ_пар
0.3	0.2	0.4	0.1	0,5
	0,99634 0,99775 0,99821 0,99846 0,99868 0,99879 0,99890 0,99895 0,99901 0,99909 0,99914 0,99918	0,99784 0,99859 0,99886 0,99901 0,99915 0,99923 0,99931 0,99933 0,99937 0,99942 0,99945 0,99948	0,99419 0,99669 0,99748 0,99785 0,99816 0,99833 0,99849 0,99859 0,99867 0,99876 0,99882 0,99887	0,99893 0,99930 0,99945 0,99955 0,9996 0,99963 0,99967 0,99970 0,99971 0,99973 0,99974 0,99975	0,99110 0,99533 0,99657 0,99714 0,99756 0,99780 0,99801 0,99818 0,99828 0,99839 0,99848 0,99854

Найти:

Необходимо рассчитать оптимальное количество повторных измерений контролируемых параметров для двух задач.

1. Суммарное время измерения контролируемых параметров не должно превышать 5 минут.

2. Достоверность результатов контроля данного объекта должна быть не менее 0.992.

Решение:

Работоспособность объекта характеризуется пятью параметрами, которые запишем в таблицу №7.

Таблица №7. Параметры, определяющие работоспособность объекта контроля

№ параметров				t_i(c)	p_i(1)
	±0,2 ±0,5 ±5,0 ±0,3 ±0,1	±0,06 ±0,10 ±2,00 ±0,03 ±0,05	0.3 0.2 0.4 0.1 0.5		0,99634 0,99784 0,99419 0,99893 0,99110

Для каждого параметра вычисляется значение Ψ_i(n_i) по формуле:

Постоянно выбирается наибольшее значение Ψ_i(n_i).

Для n₁все Ψ_i(n₁) равны нулю.

На основании таблицы №6 получим следующие значения:

Наибольшим является , поэтому далее вычислим

Следующим наибольшим является , поэтому далее вычислим

Все следующие действия выполнялись с помощью программного алгоритма.

Результат представлен в таблице № 8.

Таблица № 8

n_i	Ψ₁(n_i)	N	Ψ₂(n_i)	N	Ψ₃(n_i)	N	Ψ₄(n_i)	N	Ψ₅(n_i)	N
	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	0.0000472		0.0001503		0.0001676		0.0000185		0.0000854
	0.0000154		0.0000541		0.0000528		-		0.0000249
	-		0.0000300		0.0000247		-	-	0.0000114
	-		0.0000280		0.0000207		-	-	-	-
	-		0.0000160		-	-	-	-	-	-
	-		0.0000160		-	-	-	-	-	-

Цифры в графе N таблица №8 означают, на каком номере этапа должно быть добавлено одно повторное измерение i-го параметра.

Для каждого этапа по формулам:

последовательно вычислим значения P⁽^N⁾ и T⁽^N⁾, которые впишем в таблицу №9.

Таблица №9

N	n₁	n₂	n₃	n₄	n₅	Р⁽^N⁾	T⁽^N⁾
						0.98103	2 мин 15 сек
						0.98176	2 мин 20сек
						0.98595	3 мин 10сек
						0.98622	3 мин 15сек
						0.98700	3 мин 30сек
						0.98840	4 мин 00сек
						0.98855	4 мин 05сек
						0.98869	4 мин 10сек
						0.98992	5 мин 00сек
						0.99029	5 мин 15сек
						0.99059	5 мин 30сек
						0.99096	5 мин 50сек
						0.99104	5 мин 55сек
						0.99112	6 мин 00сек
						0.99158	6 мин 30сек
						0.99214	7 мин 20сек

1. Оптимальным количеством повторных измерений контролируемых параметров для задачи, в которой суммарное время измерений не должно превышать 5 минут, являетсяследующий набор: n₁=2, n₂=5, n₃=3, n₄=1, n₅=3, при этом максимальная достоверность результатов равна 0.98992, а суммарное измерение равно 5 мин 00сек.

2. Оптимальным количеством повторных измерений контролируемых параметров для задачи, в которой достоверность результатов контроля должна быть не менее 0.992 является следующий набор: n₁=3, n₂=7, n₃=5, n₄=2, n₅=4, при этом достоверность результатов контроля равна 0.99214, а суммарное время измерения равно 7 мин 20сек.

Таким образом, заданным ограничениям удовлетворяют по времени набор параметров, соответствующих строке 9, по достоверности – 16 в таблице №9.

Наряду с ручным расчетом, решение задачи реализовано с помощью программного алгоритма, написанного на языке Python версии 2.7. Листинг программы представлен в приложении 2 (c. 53).

Результат работы программы:

$ python main2.py

N n Ψ max

1 2 3 0.00016764

2 2 2 0.00015032

3 2 5 0.00008536

4 3 2 0.00005408

5 3 3 0.00005284

6 2 1 0.00004717

7 4 2 0.00003003

8 5 2 0.00002803

9 3 5 0.00002492

10 4 3 0.00002473

11 5 3 0.00002071

12 2 4 0.00001852

13 6 2 0.00001601

14 7 2 0.00001601

15 3 1 0.00001537

16 4 5 0.00001144

N n1 n2 n3 n4 n5 P(N) T(N)

1 1 1 2 1 1 0.98103 2 мин 15сек

2 1 2 2 1 1 0.98176 2 мин 20сек

3 1 2 2 1 2 0.98595 3 мин 10сек

4 1 3 2 1 2 0.98622 3 мин 15сек

5 1 3 3 1 2 0.98700 3 мин 30сек

6 2 3 3 1 2 0.98840 4 мин 0сек

7 2 4 3 1 2 0.98855 4 мин 5сек

8 2 5 3 1 2 0.98869 4 мин 10сек

9 2 5 3 1 3 0.98992 5 мин 0сек

10 2 5 4 1 3 0.99029 5 мин 15сек

11 2 5 5 1 3 0.99059 5 мин 30сек

12 2 5 5 2 3 0.99096 5 мин 50сек

13 2 6 5 2 3 0.99104 5 мин 55сек

14 2 7 5 2 3 0.99112 6 мин 0сек

15 3 7 5 2 3 0.99158 6 мин 30сек

16 3 7 5 2 4 0.99214 7 мин 20сек

n Ψ1(ni) Ψ2(ni) Ψ3(ni) Ψ4(ni) Ψ5(ni)

1 --------- --------- --------- --------- ---------

2 0.0000472 0.0001503 0.0001676 0.0000185 0.0000854

3 0.0000154 0.0000541 0.0000528 --------- 0.0000249

4 --------- 0.0000300 0.0000247 --------- 0.0000114

5 --------- 0.0000280 0.0000207 --------- ---------

6 --------- 0.0000160 --------- --------- ---------

7 --------- 0.0000160 --------- --------- ---------