Асимптотические методы в оценке надежности сложных систем

Оценка надежности сложной системы не только представляет значительные вычислительные трудности, но и требует большого числа данных, сбор которых сопряжен с большими затратами, а иногда просто невозможен. Однако есть широкий класс сложных систем, очень часто встречающихся в практике, для которых работают достаточно точные приближенные оценки. Математические утверждения, в которых изучается предельное поведение объекта в предположении, что какой-то из параметров, описывающих его функционирование, мал (велик), носят название асимптотических. Необходимо изучать надежность сложной системы в предположении малости вероятности отказа за конечный промежуток времени. Более точное описание ситуации следующее.

Пусть X ( t )= ( x 1 ( t ),..., xn ( t ))- процесс, описывающий функционирование изучаемого объекта, как и ранее Q - критическое подмножество в фазовом пространстве. Мы предполагаем, что процесс X ( t ) обладает так называемым свойством регенерации (восстановления). Описательно это означает следующее: существует неубывающая последовательность случайных моментов времени 0 = t 0 < t 1 < t 2 , ... такая, что в момент t п все стохастические свойства процесса X ( t )такие же, как и в момент t 0 , а значения процесса до момента t п не влияют на его будущие значения. Очень часто случайные моменты t п -это моменты попадания X ( t )в какое-то состояние.

Например, если мы предполагаем,что капитальный ремонт здания переводит его с точки зрения надежности в некое первоначальное состояние, то моменты окончания ремонтов - это точки регенерации. Следовательно, развитая далее теория применима для ремонтируемых объектов, которые на протяжении их эксплуатации неоднократно восстанавливают свои надежностные характеристики. Можем считать, что траектория процесса X ( t )разбивается на циклы (их называют периодами регенерации), после каждого цикла стохастический процесс X ( t )как бы начинается заново. Наглядно это можно изобразить, как показано на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Периоды регенерации объекта в результате ремонтно-восстановительных работ

На каждом периоде регенерации (в нашем случае между ремонтами) возможен отказ системы (например, снижение несущей способности фундамента). Обозначим вероятность этого события q . Асимптотические результаты для сложной системы верны, когда q мало (математически q® 0). Тогда в достаточно широких предположениях асимптотика вероятности отсутствия отказов в течение времени t имеет вид

(4.10)

где t- средняя длина периода регенерации (у нас -среднее время между капитальными ремонтами). Заметим, что среднее время эксплуатации системы Т »t / q ,так что в формуле (4.10) можно записать

(4.11)

Основное достоинство этого результата в том, что требуется ограниченное число параметров. В самом деле,среднее время эксплуатации строительного объекта Т до того, как он придет в полную негодность, для серийных объектов можно оценить. Для уникальных объектов следует пользоваться формулой (4.10). Здесь требуются два параметра: tи q ,причем t- среднее время между ремонтами - обычно легко оценивается. Трудность - в оценке параметра q . Это достаточно сложная математическая проблема, далеко выходящая за рамки настоящей работы, тем не менее далее предложим один прием для вычисления Т.

Другое достоинство асимптотического подхода в том, что формулы (4.10) и (4.11) дают хорошее приближение для гораздо более широкого класса процессов, чем указано ранее.

В качестве примера4рассмотрим систему «основание-фундамент» (рис 4.9).Интерпретируя модель «основание-фундамент», будем учитывать три состояния системы: 1 - нормальное состояние для грунта и фундамента; 2 - нарушение свойств грунта и нормальное состояние фундамента; 3 - потеря несущей способности фундамента (критическое состояние).

Мы несколько изменим граф переходов (рис. 4.10).

Рис. 4.9. График функции надежности для различных времен Тэксплуатации объекта до его разрушения для примера 4

Рис. 4.10. Граф переходов для примера 4
Состояние 3 является критическим множеством

Если b 2 > 0, то это означает, что при нарушении свойств грунта с вероятностью происходит его успешное восстановление. Так же, как в примере 1,

(4.12)

(4.13)

только из-за наличия g 1 , корни s 1 и s 2 вычисляются по следующей зависимости

Формулы (4.12) и (4.13) дают точное решение для модели. Мы имеем дело с восстанавливаемой системой, и асимптотическое выражение должно получаться в предположении g 1® 0, a 2® 0.

Чтобы упростить выражение,положим g 1 = 0, а a 2® 0. Понятно, что предположение g 1 > 0 вносит не принципиальные, а чисто технические трудности. Итак,при a 2® 0 имеем асимптотику корней

Отсюда и поэтому

и функция надежности системы может быть описана в следующем виде

(4.14)

Мы получили результат,вытекающий из общих математических теорем. Одновременно можно оценить среднее время эксплуатации системы как

Напомним смысл параметров: - среднее время до возникновения в грунте опасных нарушений физико-механических свойств; ( a 2 + b 2 )-1 = q - среднее время существования грунта в таком состоянии либо до разрушения фундамента, либо до начала восстановительных работ; - вероятность того, что восстановительные работы начнутся раньше, чем разрушится фундамент, и они будут успешными.

В терминах , q , р формула (4.14) примет вид

(4.16)

В заключение этого параграфа заметим, что основное достоинство асимптотического метода состоит в том, что на процесс не накладывается никаких условий, кроме наличия восстановления (или регенерации), что характерно для большинства строительных объектов.