Решение.
Разобьем кольцо на бесконечно малые элементы длины 
, каждый из которых несет бесконечно малый заряд
.
Этот заряд действует на заряд 
в точке на оси кольца на расстоянии 
от центра с силой, согласно закону Кулона равной
,
где 
Ф/м — электрическая постоянная. Результирующая сила со стороны всех бесконечно малых зарядов равна векторной сумме сил 
, создаваемых каждым из зарядов 
. Суммирование бесконечно малых есть интегрирование, поэтому
.
Из рисунка видно, что вектор можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие 
и 
. Составляющие от двух попарно противоположных зарядов 
направлены противоположно, поэтому при интегрировании дадут нуль. Составляющие от всех зарядов направлены в одну сторону. Тогда мы можем заменить векторное суммирование алгебраическим:
,
где интегрирование ведется по всей длине кольца 
. Из рисунка видно, что
.
Тогда
.
Подставляя числовые данные, получим значения силы для двух заданных расстояний :
1)
Н;
2)
Н.
Ответ: 1) 
Н; 2) 
Н.
317. Параллельно бесконечной плоскости, заряженной с поверхностной плотностью заряда σ = 10–6 Кл/м2, расположена бесконечно длинная прямая нить, заряженная с линейной плотностью 
= 10–8 Кл/м. Определить силу, действующую со стороны плоскости на единицу длины нити.
Дано:
Кл/м2
Кл/м
Найти: 
.
Решение. Бесконечная плоскость, заряженная с поверхностной плотностью 
, создает около себя однородное электрическое поле с напряженностью
,
где 
Ф/м — электрическая постоянная. В этом поле находится распределенный по прямой бесконечной нити заряд, соответственно, на этот заряд со стороны электрического поля действует сила.
Разобьем нить на бесконечно малые участки длины 
, заряд каждого из которых равен
.
Бесконечно малая сила, действующая на этот заряд со стороны электрического поля, равна
.
Направление этой силы для каждого участка одинаково, поэтому результирующая сила, действующая на участок нити длиной 
, равна алгебраической сумме бесконечно малых сил:
.
Тогда сила, приходящаяся на единицу длины нити, равна
.
Вычисление:
Н.
Ответ: 
Н.
320. Электрическое поле образовано бесконечно длинной нитью, заряженной с линейной плотностью = 10–10 Кл/м. Определить разность потенциалов U двух точек поля, отстоящих от нити на расстоянии r1 = 5 см и r2 = 10 см.
Дано:
Кл/м
см 
м
см 
м
Найти: 
.
Решение. Для решения задачи воспользуемся связью между напряженностью 
и потенциалом 
электрического поля:
,
откуда разность потенциалов
.
Напряженность, создаваемая нитью на расстоянии 
, равна
,
где 
Ф/м — электрическая постоянная. Тогда
.
Вычисление:
В.
Ответ: 
В.
332. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков: слоем стекла толщиной d1 =1 см и слоем парафина толщиной d2 = 2 см. Разность потенциалов между обкладками U = 3000 В. Определить напряженность поля и падение потенциала в каждом из слоев.
Дано:
см 
м
см 
м
В
Найти: 
, 
, 
, 
.
Решение. Разности потенциалов на слоях и напряженности электрического поля внутри слоев связаны соотношениями
, 
,
где 
, 
— толщины слоев. С другой стороны, если бы не было диэлектриков, поле внутри конденсатора имело бы значение
.
Но это поле в диэлектриках ослабляется в 
раз, где — диэлектрическая проницаемость диэлектрика:
, 
.
Для стекла 
, для парафина 
. Тогда
В/м;
В/м.
Падения потенциалов пропорциональны толщинам слоев:
, 
.
Вычисление:
В, 
В.
Ответ: 
В/м; 
В/м;
В; 
В.
330. Электрон с энергией Т = 100 эВ (в бесконечности) движется вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической заряженной сферы радиусом R = 5 см. Определить минимальное расстояние, на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если ее заряд
q = –10–9 Кл.
Дано:
эВ 
Дж
см м
Кл
Найти: 
.
Решение. Электрон — отрицательно заряженная частица. По условию сфера тоже заряжена отрицательно. Поэтому между сферой и электроном будет наблюдаться отталкивание. При приближении электрона к сфере его кинетическая энергия будет уменьшаться. На наименьшем расстоянии 
от центра сферы электрон останавливается и его кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию взаимодействия со сферой:
,
где Ф/м — электрическая постоянная; 
Кл — заряд (по модулю) электрона; 
— заряд (по модулю) сферы.
По закону сохранения и превращения энергии имеем
или 
,
откуда
.
Тогда расстояние от электрона до поверхности сферы в этот момент равен
,
где 
— радиус сферы.
Вычисление:
м.
Ответ: 
м.
347. Ток в проводнике равномерно увеличивается от нуля до некоторого максимального значения в течение t =10 с. За это время в проводнике выделилась теплота Q = 103 Дж. Определить скорость нарастания тока в проводнике, если сопротивление его r = 3 Ом.
Дано:
с
Дж
Ом
Найти: 
.
Решение. Количество теплоты 
, выделяющейся в проводнике за время 
, вычисляется по закону Джоуля–Ленца
,
где 
— сила тока через проводник; 
— его сопротивление. Так как сила тока возрастает, то необходимо рассматривать бесконечно малый промежуток времени 
, в течение которого выделяется бесконечном малое количество теплоты, при этом за этот промежуток времени ток считаем постоянным:
.
Общее количество теплоты находится суммированием, т.е. интегрированием бесконечно малых:
.
Зависимость силы тока от времени при ее равномерном (линейном) возрастании во времени можно представить в виде
,
где 
— начальный ток (при 
); — искомая скорость возрастания силы тока. По условию , тогда
и
.
Таким образом,
,
откуда
.
Вычисление:
А/с.
Ответ: 
А/с.
335. Плоский конденсатор с площадью пластин S = 300 см2 каждая заряжен до разности потенциалов U = 1000 В. Расстояние между пластинами d = 4 см. Диэлектрик — стекло. Определить энергию W поля конденсатора и плотность 
энергии поля.
Дано:
см2 
м2
В
см 
м
Найти: 
, .
Решение. Энергия конденсатора равна
,
где 
— емкость конденсатора; — разность потенциалов между его пластинами. Емкость плоского конденсатора равна
,
где — диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора; Ф/м — электрическая постоянная; 
— площадь пластин; 
— расстояние между пластинами. Диэлектрической средой между пластинами по условию является стекло. Из справочника узнаем, что 
. Получаем
.
Вычисление:
Дж.
Плотность энергии по определению равна
,
где 
— в данном случае объем конденсатора, равный 
. Тогда
Дж/м3.
Ответ: 
Дж; 
Дж/м3.
Задача 10. Кольцо радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле индукцией В = 0,318 Тл. Плоскость кольца составляет угол = 30° с линиями индукции. Вычислить магнитный поток, пронизывающий кольцо.
Дано:
см м
Тл
Найти: 
.