Геодезическая кривизна кривой на поверхности

Наша задача познакомиться с кривыми на поверхности, которые играют роль, аналогичную роли прямых на плоскости. Предварительно введем понятие геодезической кривизны кривой на поверхности.

Пусть поверхность F определена регулярной векторной функцией , для которой порядок регулярности к ≥ 1 в области Q. Рассмотрим на F кривую g.

Определение 1. Геодезической кривизной кривой g в точке М Î F называется кривизна проекции рассматриваемой кривой на касательную плоскость в рассматриваемой точке.

Определение 2. Геодезической кривой на поверхности называется кривая, у которой в каждой точке геодезическая кривизна равна нулю.

Геодезическая кривизна обозначается символом k_g.

Можно доказать следующие свойства геодезической кривизны.

1. Достаточно малые дуги геодезической кривой являются кратчайшими путями между их концами на поверхности.

2. На регулярной поверхности геодезическая кривая является регулярной кривой.

3. Через каждую точку регулярной поверхности в любом направлении можно провести, и притом единственную, геодезическую кривую.

4. Геодезическая кривизна есть объект внутренней геометрии поверхности.

5. Если две поверхности касаются друг друга вдоль некоторой кривой g, которая является геодезической линией на одной из них, то она будет геодезической и на другой из них.