Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Полным приращением функции в точке Мо(xо,yо) называется разность f(хо+Dх,yo+Dy) - f(xо,yо) = Df. Если функция f(x,y) определена в окрестности точки Мо и имеет непрерывные частные производные, то полное приращение функции можно выразить формулой: Df=f ‘x*Dх+ f ‘y* Dy +a(Dх)*Dх+ b(Dy)*Dy. a(Dх) и b(Dх) – бесконечно малые числа и ®0. Линейная часть приращения функции относительного приращения аргумента Dх и Dy называют полным дифференциалом. f(x,y)«dZ или df, df=f ‘x*Dх+ f ‘y*Dy. Применим полный дифференциал к приближенным вычислениям. При достаточно малых по абсолютной величине Dх и Dy, приращение функции Df»df.

Df= f ‘x*Dх+ f ‘y*Dy+ a(Dх)*Dх+ b(Dy)*Dy.

f(хо+Dх,yo+Dy) - f(xо,yо)= f ‘x(xo,yo)Dx+ f ‘y(xo,yo)Dy.

f(хо+Dх,yo+Dy)» f(xо,yо)+ f ‘x(xo,yo)Dx+ f ‘y(xo,yo)Dy.

Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Точка Ро назыв. точкой локального max. и min., если сущ. такая Ебс-окр. это точки, что для всех точек Р из этой окр. отсеченных от самой Ро выполняется неравенство: f(Po)>f(P) или f(Po)<f(P). Точки max. и min. назыв. экстремумы, а значение в этих точках – экстрем. функции.

Необходимость существования экстремума: Если f(x,y) в точке Po(xо,yо) имеет экстремум и в этой точке существуют конечные частные производные, то они равны 0. ∂f / ∆x(x₀,y₀)=0

∂f /∆y=(x₀,y₀)=0 (система). Экстремумы функции f(x,y) надо искать в точках, координаты которые удовлетворяют системе уравнений. Из этой системы ищем критические точки. Достаточные условия существования эксремума функции 2-х переменных: Пусть точка Pо(xo,yo) – критическая точка функции f(x,y). Введем следующие обозначения: A«f”x(xo,yo), B«f”xy(xo,yo), C«f”y(xo,yo), D«AC-B2.Тогда, если: 1. D>0 и при этом А>0 (C>0), то в точке Pо – минимум, если D>0 и при этом А<0 (C<0), то в точке Pо – максимум. 2. Если D<0, то в точке Pо экстремума нет. 3. Если D=0, то требуется дополнительные исследования для увеличения и установки экстремума.