Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] тогда она интегрируема на этом отрезке и зн.интегрируема на любом отрезке [a,х] содержащимся в [a,b].

Рассм.ф-цию Ф(х)=∫ах f(x)dx- её наз.интегралом с переменным верхним пределом.

Св-ва:

1. Ф(х) непрерывна на [a; b]

2. Если f(x) – непрер. на [a; b], то Ф(х) – дифф-ма на [a; b] и Ф’(x)=f(x).

 

Формула Ньютона-Лейбница.

Если ф-ция f(х) непрерывна на [a,b] и ф-я F(x) какая-либо первообразная для f(x) на отрезке[a,b] то справедлива формула

.

Док-во:

пусть F(x)первообразная для f(x) на отрезке [a,b], ф-ция Ф(х) так же явл.первообразной. по теореме о множестве первообразных имеем Ф(х)-F(x)=C. Подставим в последнее рав-во вместо х сначала а, потом b=х получим:

Ф(а)-F(a)=C Ф(b)-F(b)=C Ф(а)=∫aa f(x)dx=0 Ф(b)=∫ab f(x)dx

Имеем C=-F(a) ∫ab f(x)dx+F(a)=F(b) ∫ab f(x)dx=F(b)-F(a)