D-разбиение в плоскости двух параметров

(диаграмма Вышнеградского)

D-разбиение в плоскости двух параметров дает более полное представление о влиянии физических параметров САУ на устойчивость (рис. 4.24). Задачу построения D-разбиения в плоскости двух параметров для системы третьего порядка решил Вышнеградский И. А.

Случай системы 3-го порядка - наиболее часто встречается в САУ, когда объект регулирования описывается апериодическим звеном, а регулятор - колебательным (рис. 1.18).

Запишем собственный оператор системы в общем виде

Для сведения этой задачи к вариации 2-х безразмерных коэффициентов и решения в общем виде проводим операцию нормализации и вместо s вводим другой аргумент:

; (4.10)

.

Из последнего уравнения выразим оператор s через аргумент z:

;

.

С учётом этого выражения (4.10) можно переписать в виде:

;

или

, (4.11)

где ;

.

В (4.11) делаем подставку и разбиваем полученный многочлен на действительную и мнимую части:

.

Действительная часть:

.

Мнимая часть Из полученных уравнений находим

(4.12)

Находим уравнение границы колебательной устойчивости:

- уравнение равнобокой гиперболы. Область устойчивости системы лежит выше этой кривой.

Составим матрицу Гурвица для рассматриваемой системы при значениях A и В, определяемых из (4.12):

.

.

Последний определитель доказывает, что кривая, определяемая выражением АВ=1, является границей колебательной устойчивости.

График на рис. 4.25 называется диаграммой Вышнеградского. Диаграмма Вышнеградского позволяет определить не только устойчивость САУ, но и вид переходного процесса в ней. Область устойчивости, в свою очередь, разбивается на 3 подобласти: I, II, III (рис. 4.25), соответствующие различному расположению корней характеристического уравнения. Отметим, что в точке С, где А=3 и В=3, характеристическое уравнение (4.11) принимает вид . Следовательно, в этой точке все три корня равны: . При этом для исходного характеристического уравнения (4.10) получаем .

В общем случае возможны два варианта:

1) все три корня вещественные;

2) один корень вещественный и два комплексных.

Границы между этими случаями определяются уравнениями (см. рис. 4.25):

кривая СD: ; ;

кривые СЕ и СF: ; .

В области III, где все корни вещественные, получим апериодический переходный процесс. Область III носит название области апериодических процессов. В области I быстрее затухает экспонента и переходный процесс в основном будет определяться колебательной составляющей. Это – область колебательных процессов. В области II, наоборот, быстрее затухает колебательная составляющая. Это будет область монотонных процессов.