АКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ
(МЕТОД D-РАЗБИЕНИЯ)
При проектировании систем необходимо знать области изменения того или иного параметра внутри которых САУ будет устойчива. Такие области называются областями устойчивости и получают их с помощью D-разбиения в плоскости искомого параметра, т.е. того параметра, относительно значений которого оценивается устойчивость системы.
В зависимости от того, сколько параметров системы меняется одновременно, решение ищется на прямой (один), на плоскости (два), на поверхности (три).
Для построения D-разбиения в плоскости одного параметра необходимо в собственном операторе системы 
в явном виде выделить искомый параметр. Рассмотрим собственный оператор, который записывается в виде:
,
где 
- искомый варьируемый параметр. Выделяя в уравнении 
параметр в явном виде, можно записать:
. (4.8)
(4.9)
Коэффициенты 
зависят от параметров САУ 
, следовательно корни характеристического уравнения всецело зависят от параметров системы и определяют ее устойчивость. При фиксированном значении параметров системы корни характеристического полинома (4.9) определенным образом располагаются на комплексной плоскости корней. Причем расположение всех корней в левой полуплоскости соответствует устойчивой системе. Расположение хотя бы одного корня в правой полуплоскости соответствует неустойчивой системе.
Пусть в общем случае корни характеристического уравнения (4.9) произвольно располагаются на комплексной плоскости. Предположим, что изменился режим работы системы, выразившийся в изменении параметра , который входит в один или несколько коэффициентов уравнения (4.9).
При непрерывном изменении корни уравнения будут изменяться также непрерывно, т.е. будут менять свое положение на комплексной плоскости. При этом число корней остается постоянным и равным n. Очевидно, что существует такие области изменения параметра , в пределах которых число корней в левой и правой полуплоскостях не изменяется. Переход из одной области изменения в другую соответствует переходу одного или нескольких корней из одной полуплоскости в другую (например, из левой в правую).
Границы, разделяющие области изменения параметра , при которых сохраняется постоянное число корней в левой и правой полуплоскостях, называются границами D–разбиения по параметру .
Значениям , лежащим на границе D–разбиения, соответствует один или несколько чисто мнимых корней характеристического уравнения.
Из (4.8) при 
находим:
.
Изменяя значения 
от 
, построим в плоскости (или 
, 
) кривую, отображающую мнимую ось 
плоскости корней характеристического уравнения в плоскости 
. Полученная кривая является кривой D–разбиения. Кривая D–разбиения для отрицательных и положительных частот симметрична относительно действительной оси, поэтому можно строить лишь ее участок, соответствующий изменению частот 
, и дополнить кривую зеркальным отображением относительно действительной оси. На рис. 4.20 построены плоскость корней характеристического уравнения (рис. 4.20,а) и кривая D–разбиения (рис. 4.20,б).
Построение кривой D–разбиения еще не решает вопроса о выделении области устойчивости. Последняя должна представлять собой совокупность точек плоскости, в которых все корни характеристического уравнения замкнутой системы имеют отрицательные вещественные части. В то же время кривая D–разбиения представляет собой только совокупность точек, в которых характеристическое уравнение имеет, по крайней мере, хотя бы один чисто мнимый корень 
. Для того, чтобы решить вопрос о выделении области устойчивости, необходимо по определенным правилам заштриховать кривую D–разбиения.
При перемещении в плоскости корней характеристического уравнения вдоль мнимой оси от 
до 
(рис. 4.20,а), область, в которой корни имеют отрицательные вещественные части, будет находиться все время слева. Заштрихуем мнимую ось плоскости корней характеристического уравнения слева. Имея это в виду, будем теперь перемещаться вдоль кривой D-разбиения от точки 
к точке, соответствующей 
. Выполним штриховку этой кривой тоже слева (рис. 4.20,б). Таким образом, получим четыре зоны I, II, III, IV.
 |
Допустим, что каким-либо способом удалось установить, что в зоне III имеется k отрицательных корней слева от мнимой оси. Если при переходе в другую зону кривая D-разбиения пересекаются с незаштрихованной стороной на заштрихованную, то этой зоне соответствует полином с
корнем в левой полуплоскости корней характеристического уравнения (рис. 4.20,б). При переходе через кривую с заштрихованной стороны на незаштрихованную число отрицательных корней уменьшается на единицу. Если штриховка двойная (что соответствует точке пересечения кривых D-разбиения - точке А на рис. 4.20,б), то число корней увеличится на 2, т. е. в этой зоне имеем 
отрицательных корня.
Практически представляет интерес рассмотрение только действительных значений параметра . Поэтому, построив кривые D-разбиения и определив число корней в каждой зоне, необходимо найти тот отрезок действительной оси на плоскости , который принадлежит области устойчивости. Из предлагаемой области устойчивости выбирается значение параметра (как правило, на действительной оси, т. к. - действительное число - жёсткость, масса, коэффициент трения и т. п.), которое подставляется в характеристическое уравнение. Затем, воспользовавшись одним из критериев устойчивости, определяется устойчивость САУ при выбранном значении . Если система будет устойчива с этим значением , то она будет устойчива во всей области, из которой выбрано значение .
Пример.
Уравнение 1-го порядка
,
- варьируемый параметр. Приравниваем собственный оператор к нулю:
.
Из последнего уравнения выражаем в явном виде.
, .
Получаем выражение для построения кривой D-разбиения.
(рис. 4.21).
I- область устойчивости.
Пример.
Система 2-го порядка
Приравниваемый собственный оператор 
к нулю:
.
Из последнего уравнения выражаем в явном виде:
, .
Получаем выражение для построения кривой D-разбиения (рис. 4.22):
.
Пример.
Система 3-го порядка:
.
Приравняем собственный оператор к нулю:
.
Из последнего уравнения выражаем в явном виде:
;
На рис. 4.23 изображена кривая D-разбиения.
Область I обладает наибольшим числом корней с отрицательной вещественной частью. Поэтому выбираем из этой области 
и проверяем на устойчивость с использованием, например, критерия Гурвица.
Характеристическое уравнение в этом случае запишется в виде:
.
Матрица Гурвица для данного уравнения:
.
;
;
.
Итак система устойчива при 
Следовательно, она будет устойчива во всей области I изменения параметра 