АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
(КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА)
Австрийские математики Раус и Гурвиц в 1895 году нашли условия, при которых многочлен любой степени не содержит корней с положительной вещественной частью.
Рассмотрим характеристическое уравнение САУ n-го порядка:
Алгебраический критерий устойчивости (критерий Рауса-Гурвица) формулируется следующим образом:
Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы при 
все диагональные миноры квадратной матрицы Гурвица, составленной из коэффициентов характеристического уравнения, были положительны.
Определитель Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения следующим образом:
- по диагонали определителя выписываются все коэффициенты от a1 до an в порядке возрастания (слева – направо, сверху – вниз); 
- заполнение столбцов от диагонального коэффициента производится: вверх - коэффициентами уравнения с большими индексами, а вниз - коэффициентами уравнения с меньшими индексами. Места коэффициентов с отрицательными индексами и индексами больше "n" заполняются нулями:
Из этого критерия вытекают следствия:
1) для устойчивости системы, описываемой уравнениями до 2-го порядка включительно, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля;
2) для системы 3-го порядка
 |
Матрица Гурвица в этом случае запишется следующим образом:
Условия устойчивости:
;
;
,
.
Третий (последний) определитель 
дает условие 
.
Таким образом, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения.
3) Для системы 4-го порядка 
необходимые и достаточные условия устойчивости помимо указанных для системы третьего порядка записываются в виде неравенства 
.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Определить устойчивость системы с передаточной функцией:
.
Рассмотрим характеристическое уравнение:
.
Матрица Гурвица записывается следующим образом:
.
Все диагональные миноры больше нуля, следовательно, система устойчива.
Пример 2. Определить устойчивость системы с передаточной функцией:
.
Рассмотрим характеристическое уравнение:
.
Матрица Гурвица записывается следующим образом:
Один из диагональных миноров меньше нуля, следовательно, система неустойчива.
 |
Пример 3. Определить значения k, при которых система (рис. 4.4) будет устойчива.
Передаточная функция системы определится выражением:
.
Рассмотрим характеристическое уравнение:
.
Матрица Гурвица записывается следующим образом:
;
.
,
.
Таким образом, система будет устойчива при значениях k из диапазона (-1;0).
Алгебраический критерий устойчивости используется для анализа систем не выше 5-го порядка. Для систем, порядок которых больше пяти, могут быть использованы специальные таблицы Рауса, составленные из коэффициентов 
и их комбинаций. Но это трудоёмкая операция. Кроме того, критерий Рауса-Гурвица при n>5 лишен возможности внутренней (промежуточной) проверки и имеет большую вероятность погрешности из-за многочисленных арифметических действий.
Поэтому для оценки устойчивости систем с высоким порядком характеристического уравнения целесообразно использовать частотные критерии устойчивости.