Взаимное расположение линейных объектов в пространстве. (углы,проверка, расстояние)

Взаимное расположение прямых в пространстве

Две прямые пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать.

Случай №1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости. Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же №№2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости.

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим две прямые пространства:

– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;

– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

 

На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.

Как разобраться с этими прямыми?

Так как известны точки , то легко найти вектор .

Если прямые скрещиваются, то векторы не компланарны , а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, смешанное произведение векторов будет отлично от нуля: .

В случаях №№2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны, а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: .

Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают .

Если направляющие векторы не коллинеарны, то прямые пересекаются.

Если направляющие векторы коллинеарны, то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.

Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:

Пример 11

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение: как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:

 

 

1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

3) Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность .

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными. Ответ:

 

15.) Кривые второго порядка на плоскости

Общий вид линии второго порядка:

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

1. Окружность

Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

где - радиус окружности, и - координаты центра окружности.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение имеет вид

2. Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (бóльшая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса с центром в начале координат и с фокусами в точках и :

 

 

где и - полуоси эллипса, с – полуфокусное расстояние. Коэффициенты эллипса связаны соотношением

Если центр эллипса находится в точке , то уравнение эллипса имеет вид:

3. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение гиперболы с центром в начале координат и с фокусами в точках и имеет вид:

где - действительная полуось, - мнимая полуось.

Коэффициенты и гиперболы связаны соотношением . Прямые - асимптоты гиперболы.

Если центр гиперболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

4. Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид:

где - расстояние между фокусом параболы и прямой линией, называемой директрисой. Фокус параболы имеет координаты .

Если вершина параболы находится в точке , то уравнение имеет вид

Задача 1. Составить уравнение геометрического места точек, равноотстоящего от оси Оу и точки .

Решение: Возьмем на искомой линии произвольную точку . Расстояние точки М от точки F определится по формуле расстояния между двумя точками: Расстояние точки М до оси Оу определится:

Так как по условию , то искомая кривая имеет уравнение:

Линия, определяемая полученным уравнением является параболой .