Вероятность произведения зависимых событий
Вероятность произведения зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило, т. е.
P(A · B) = P(A) · PA(B). (24)
Формула умножения вероятностей может быть распространена на любое число m зависимых событий A1, A2, …, Am:
P(A1 · A2 ·…· Am) = P(A1) · PA1(A2) ×
× PA1A2(A3) ·…· PA1A2…Am–1(Am), (25)
Причем вероятность последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.
Пример 1.15.Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно 6. Какова вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода?
Решение. Введем обозначения событий: A – «первого июля будет ясная погода»; B – «второго июля будет ясная погода»; A и B – события зависимы, AB – «первого и второго июля будет ясная погода».
Вероятность того, что первого июля будет ясная погода, равна 
. Вероятность того, что второго июля будет ясная погода, при условии, что первого июля была ясная погода, равна 
. Тогда искомая вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода, по теореме умножения вероятностей зависимых событий, равна 
.
Пример 1.16.Найти вероятность того, что наудачу написанная простая дробь сократится на 2.
Решение. Обозначим A – событие, заключающееся в том, что «дробь сократится на 2»; B – событие «числитель дроби делится на 2»; C – «знаменатель дроби делится на 2».
Так как каждое второе число делится на 2, то 
.
B и C – независимые события.
А = В · С; 
.
Пример 1.17.Бросили монету и игральную кость. Какова вероятность того, что на монете выпал герб, а на кости – число очков, кратное 3?
Решение. Пусть событие A – «на монете выпал герб», событие
B – «на игральной кости выпало число очков, кратное 3».
, 
.
Пусть событие C – «одновременное появление событий A и B». Следовательно, C = A · B. Так как A и B события независимые, то вероятность появления события С равна
.
Пример 1.18. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на
3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй – 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?
Решение. Событие A – «попадание в первый сектор», событие
B – «попадание во второй сектор». Данные события несовместны (попадание в один сектор исключает попадание во второй).
Событие C – «попадание либо в первый, либо во второй сектор», т. е. С = A + B. Тогда Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.
Пример 1.19.Монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно 2 раза?
Решение. Пусть Ak – «выпадение цифры при k-том подбрасывании монеты» (k = 1, 2, 3); A – «выпадение двух цифр при трех подбрасываниях». Тогда 
. Слагаемые в правой части этого равенства попарно несовместны, следовательно
Так как события A1, A2, A3 – независимы, тогда
Пример 1.20.Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.
Решение. Событие A – «наудачу взятое двухзначное число кратно 2», событие B – «наудачу взятое двухзначное число кратно 7». Найдем P(C) = P(A + B). Так как A и B – события совместные, то P(A + B) =
= P(A) + P(B) – P(AB).
Двухзначных чисел всего 90, из них 45 – кратны двум (являются четными) и благоприятствуют событию A; 13 чисел кратны семи и благоприятствуют событию B; 7 чисел кратны двум и семи одновременно и благоприятствуют событию AB.
; 
; 
.
Следовательно, 
.
Пример 1.21.Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?
Решение. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах (событие A), согласно формуле (22), равна P(A) = 1 –
– q3, где q – вероятность промаха. По условию P(A) = 0,875. Следовательно, 0,875 = 1 – q3 или q3 = 1 – 0,875, q = 0,5. По формуле (18) определим вероятность появления события А: p = 1 – 0,5 = 0,5.