Интегрирование
Вопросы и задачи для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ»
Второй семестр 1 курса ФЭМ, 2012-2013 уч.год.
Функции многих переменных
1. Функции многих переменных. Область определения. Область значений.
2. Функции двух переменных. График функции. Линии уровня.
3. Предел и непрерывность функции многих переменных.
4. Частные производные первого порядка.
5. Дифференцируемость функции. Достаточные условия дифференцируемости.
6. Дифференциал функций многих переменных. Геометрический смысл дифференциала.
7. Производная по направлению.
8. Градиент функции. Свойства градиента.
9. Неявная функция. Производная неявной функции первого порядка.
10. Производные высшего порядка.
11. Сложная функция. Производная сложной функции.
12. Экстремум функции многих переменных.
13. Необходимые условия экстремума функций многих переменных.
14. Достаточные условия максимума (минимума) функций многих переменных.
15. Свойства функций, непрерывных на замкнутом и ограниченном множестве.
16. Нахождение глобального максимума (минимума) непрерывной функции на замкнутом и ограниченном множестве.
17. Задача математического программирования.
18. Метод множителей Лагранжа.
19. Условия экстремума функции в случае одного ограничения.
Функции многих переменных в экономике
1. Производственные функции. Предельные производительности. Первые и вторые производные функции Кобба–Дугласа.
2. Коэффициенты эластичности для функции Кобба–Дугласа.
3. Изокванты. Функции Кобба–Дугласа и Леонтьева. Изокосты.
4. Задача оптимизации I (максимизация выпуска продукции при ограничении на издержки). Графическая интерпретация.
5. Задача оптимизации II (минимизация издержек при ограничении на выпуск продукции). Графическая интерпретация.
Интегрирование
1. Первообразная функции и неопределенный интеграл
2. Таблица стандартных интегралов.
3. Свойства неопределенного интеграла.
4. Замена переменных в неопределенных интегралах.
5. Интегрирование по частям.
6. Интегрирование простых дробей I и II типа.
7. Интегрирование простых дробей III типа на примере.
8. Типы простых дробей. Теорема о разложении правильной дроби.
9. Интегрирование рациональных функций. Схема.
10. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл.
11. Свойства определенного интеграла.
12. Теорема о среднем. Геометрический смысл.
13. Интеграл с переменным верхним пределом.
14. Формула Ньютона-Лейбница
15. Замена переменных и интегрирование по частям определенного интеграла
16. Вычисление площадей. Коэффициент Джинни.
17. Вычисление объема тела вращения.
18. Несобственный интеграл I типа.
19. Несобственный интеграл II типа.