Колебания системы с различными парциальными частотами.

В качестве примера колебательной системы с двумя степенями свободы и различными парциальными частями можно рассмотреть модель, представленную на рис.131, если в ней на этот раз положить k1 ¹ k2 . В этом случае будут различны собственные частоты колебаний отдельных частей системы:

будут различны и частоты парциальных колебаний:

Для описания же колебаний тел системы в общем случае прежде всего определим действующие на них силы и запишем уравнения динамики для каждого из тел. Предположим, что первое тело смещено из его положения равновесия на , а второе - на ;. На первое тело действует сила упругости собственной пружины и сила упругости пружины связи: ..

. На второе тело аналогично действует собственная пружина и пружина связи с силами: . . С учётом этих сил уравнения динамики по второму закону для обоих тел запишутся в виде:

Эти уравнения удобнее привести к следующей форме:

Решить эту систему дифференциальных уравнений можно, например, таким образом. Из уравнения (399) выражаем значение х, и подставляем это значение в уравнение (398):

Очевидно, что последнее равенство выполняется при условии:

Это и есть исходное дифференциальное уравнение для определения закона движения для второго тела системы. В уравнении присутствуют только сама величина и её производные чётных порядков, поэтому решение уравнения удобно искать в виде гармонической функции

Для сокращения записей введём следующие обозначения:

При таких обозначениях уравнение (400) записывается в более короткой форме:

Если искомое решение действительно является гармонической функцией, то после подстановки в уравнение (401) её значения, а также производных от нее, мы должны получить тождество:

Очевидно, что амплитуда колебаний а не может равняться нулю, не может быть равным нулю в любой произвольный момент времени и значение синуса, поэтому

Решая это биквадратное уравнение, получаем, что

Этот результат означает, что колебания второго тела системы представляют собой суперпозицию двух гармонических колебаний с частотами , определяемыми равенством (402):

Учитывая это, можем определить и закон движения для первого тела системы, как было

указано выше:

Вводя обозначения

можем записать закон движения для первого тела системы в форме, аналогичной закону движения для второго тела:

временем изменяются по законам:

В исходный момент времени t = to = 0 значения начальных смещений и скоростей тел определяются соотношениями:

Для определения амплитуд колебаний и начальных фаз начальные условия удобнее записать в виде:

Из последних выражений легко получаются амплитуды колебаний а и b, а также значения начальных фаз колебаний

Используя эти выражения, можно получить конкретные законы движения тел системы при определенных конкретных условиях.

а). Первое тело системы отводится от своего положения равновесия на , а второе –на А от его положения равновесия в ту же сторону, что и первое. Затем оба тела без толчка отпускаются. Значения начальных смещений и скоростей тел в этом случае равны

, .

Из выражения (403) следует, что амплитуда первой гармонической составляющей равна нулю, т.е. колебания каждого тела происходят по гармоническому закону с одинаковой частотой . Амплитуду b определяем из (404): b = А, а начальную фазу - из (406):При таких значениях амплитуды и начальной фазы законы колебаний тел имеют вид:

6). Первое тело системы отводится от своего положения равновесия на , а второе - на А от его положения равновесия в ту же сторону, что и первое. Затем оба тела без толчка отпускаются. Значения начальных смещений и скоростей тел для такого случая равны: , , .

Из (404) следует, что в этом случае амплитуда уже второй гармонической cоставляющей обращается в нуль. Следовательно, и в этом случае оба тела совершают гармонические колебания. На этот раз с частотой . Амплитуду колебаний а определяем из (483), а начальную фазу . Из (405): а = А, .

Подставив значения амплитуд и начальных фаз в общие выражения для смещений тел, получим законы их движения:

в). Оба тела отводятся от своих положений равновесия на одинаковые расстояния А в одну сторону и затем без толчка отпускаются. Значения начальных смещений и скоростей тел в этом случае равны: , .

Из выражений (403), (404), (405) и (406) находим значения амплитуд составляющих и начальные фазы:

Подставив значения амплитуд и начальных фаз в общие выражения для смещений тел, получим законы движения в виде:

Анализируя полученные для трех типов начальных условий результаты, можно отметить некоторые характерные для колебательных систем с несколькими степенями свободы закономерности.

1. В колебательной системе с несколькими степенями свободы можно так подобрать начальные условия, что система будет совершать одно из главных (нормальных) колебаний, т.е. тела системы будут совершать гармонические колебания с одной из главных (нормальных) частот.

2. В каждом из нормальных колебаний амплитуды находятся в постоянном отношении, которое не зависит от начальных условий, а определяется параметрами системы, хотя сами отдельные амплитуды определяются из начальных условий.

3. Следующую характерную особенность колебательных систем с несколькими степенями

свободы можно заметить, сравнивая парциальные и нормальные частоты колебаний.

Частоты парциальных колебаний системы, как было указано выше, равны:

Что касается нормальных частот, то их удобно выразить из (402), учитывая соотношения

Из последних соотношений находим значение :

Отсюда получаем значения нормальных частот:

Сравнивая парциальные частоты с одной из нормальных частот , получим:

Следовательно, обе парциальные частоты меньше частоты нормальных

колебаний .Точно так же сравниваем значения парциальных частот с другой нормальной частотой - .

Таким образом, обе парциальные частоты больше второй нормальной частоты. Отсюда можно сформулировать следующую характерную особенность колебательных систем с несколькими степенями свободы: значения парциальных частот заключены в промежутке между значениями нормальных частот.