IV Аналитическая геометрия

Глава IV

Аналитическая геометрия – область геометрии, в которой изучаемому геометрическому объекту (поверхности или линии) ставится в соответствие определённое уравнение или система уравнений, и исследование геометрических объектов сводится к исследованию соответствующих уравнений.

Одному и тому же геометрическому объекту могут быть отнесены уравнения разных типов: векторное, уравнение в декартовых координатах, векторно-параметрическое и скалярно-параметрическое и т.д.

Сказанное выше поясним на конкретных поверхностях и линиях.

1) Плоскость

Простейшей из поверхностей является плоскость. Рассмотрим различные типы уравнений плоскости и исследуем эти уравнения.

a) Векторное уравнение плоскости

Пусть в пространстве выбрана прямоугольная система координат xOyz и задан вектор и т. , а следовательно и радиус-вектор этой точки .

Очевидно, что существует только одна плоскость Q, которая проходит через т.

, и перпендикулярна вектору

(прямой на которой он расположен).

Вектор называется вектором плоскости Q.

Пусть т. - текущая точка плоскости Q.

Очевидно, что и данной :

Т.к. , где , тогда

- векторное уравнение плоскости Q, заданной векторами и .

b) Уравнение плоскости в декартовых координатах

Т.к. , а , то можно переписать через координаты векторов.

- уравнение в декартовых или уравнение плоскости, проходящие через данную т. перпендикулярно вектору .

c) Общее уравнение плоскости

- общее уравнение плоскости

D – характеризует отдаленность плоскости.

d) Уравнение плоскости в отрезках на осях

Обозначим

Получим

- уравнение плоскости в отрезках на осях.

e) Векторно-параметрическое уравнение плоскости

Пусть в пространстве xOyz заданы два неколлинеарных вектора.

и т. существует только одна плоскость, которая проходит через т. и параллельна векторам и .

Рассмотрим векторы и

Пусть т.

- любая текущая точка плоскости Q, тогда

, где

Векторы и неколлинеарные следовательно образуют на плоскости Q векторный базис следовательно . Т.к. т.М любая, то скаляры U и V принимают независимо друг от друга любые действительные значение.

Подставим в вместо его разложение по векторам и , получим:

- векторно-параметрическое уравнение плоскости Q, которая задана вектором , точки и векторами и , которые называются направляющими векторами плоскости Q.

f) Скалярно-параметрическое уравнение плоскости.

Проектируяобе части уравнения на оси координат, получим скалярно-

параметрическое уравнение плоскости Q.

g) Другая форма записи уравнения плоскости в декартовых координатах.

Рассмотрим и . Если т. и т. , то все эти три вектора компланарны.

Условие компланарности трех векторов имеет вид:

Условие параллельности, перпендикулярности двух плоскостей, угол между плоскостями.

Пусть даны две плоскости и .

Исследование общего уравнения плоскости

Пусть плоскость Q задана уравнением

(**)

Как она расположена относительно системы координат xOyz, если некоторые коэффициенты уравнения (**) равны нулю?

1) . В этом случае координаты т. удовлетворяют этому уравнению т. , т.е. плоскость Q проходит через начало координат.

2) С=0: уравнение (**) примет вид:

. В этом случае . Из и . Итак, если С=0 .

Аналогично:

7) или z=0. В этом случае Q||xOy и т. , т.е. Q совпадает с xOy и т.д.

j) Расстояние от точки до плоскости

Пусть дана т. и плоскость (Q): . Найти расстояние от т. до (Q).

2) Прямая в пространстве

a) Уравнение прямой в декартовых координатах

Прямая (g) в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, заданных своими уравнениями в декартовых координатах:

Символически это записывается так:

b) Векторно параметрическое уравнение прямой:

Пусть прямая задана т. и направленным вектором , . Возьмем на прямой произвольную точку (текущую) . прямая проходящая через данную точку параллельному данному вектору.