Для линейного тренда

Доверительные интервалы прогноза

Предположим, имеется линейная регрессионная модель, . Учитывая, что параметры а и b являются выборочными оценками, получим

,

где (- заданное, - среднее значение),

- сумма квадратов отклонений значений независимой переменной от их средней;

S_y – средний квадрат отклонений фактических значений у от расчетных.

Поскольку в качестве независимой переменной здесь выступает время (t), то заменив , , соответственно на , , и слегка преобразовав, получим:

где S_y – среднее квадратическое отклонение фактических наблюдений от расчетных значений у;

n – число наблюдений;

- время, для которого делается экстраполяция, т.е. = n + L;

- значение порядкового номера уровня.

Доверительные интервалы для прогноза изображены на рис. 7.

 

 

 

Рис. 7. Доверительные интервалы прогноза

 

; ;

.

Обозначим, через К среднее квадратическое ошибки, тогда получим:

.

Значение К зависит от n и L, т.е. продолжительности наблюдения и периода прогнозирования.

Введем величину К* в выражение для доверительного интервала, получим:

,

где .

Итак, при увеличении продолжительности наблюдения (n) значения К и К* уменьшаются, с ростом величины L они растут.

Исследуя проблему соотношения продолжительности наблюдений и периода прогнозирования, Г.Девис нашел следующую зависимость:

.

При рассмотрении этого выражения легко прийти к выводу о том, что величина L не может быть равна или больше n, иначе средняя квадратическая ошибка прогноза становится неопределенно большой.