Метод трех сумм
Кривой Гомперца и логической кривой
Параметровмодифицированной экспоненты,
Упрощенное оценивание
Если нет полного ряда данных, в этих обстоятельствах оценки параметров функции, возможно на основе трех точек.
Предположим, имеется функция:
Для этой функции выявлены следующие формулы:
;
;
.
Таким образом, сперва определяется параметр b, затем а и наконец К. Если в последнее выражение подставить найденные выше значения а и b, то К можно определить следующим образом:
.
Значение К лучше определять на основе последней формулы, поскольку в этом случае не будет сказываться округление параметров а и b. Малейшее изменение их обычно существенно влияет на величину К.
Пример. Пусть уровни ряда формируются по закону К + аbt, причем К = 120, а = -60, разность между асимптотой и у0, в отношение последовательных первых разностей ординат.
Итак, уt = 120 – 60 ∙ 0,5t.
Продолжим эксперимент. Пусть на показатели ряда воздействуют некоторые случайные факторы, причем соответствующие случайные сдвиги составляют не более 5%.
Воспользовавшись таблицей случайных чисел для определения возмущения (∑t) получим следующие данные (таблица 3).
Таблица 3
Генерирование данных (модифицированная экспонента)
| t | 120 – 60 ∙ 0,5t | ∑t | yt |
| +2,5 | 62,4 | ||
| +4,8 | 94,8 | ||
| -6,0 | 99,0 | ||
| 112,5 | +6,0 | 118,5 | |
| 367,5 | 374,7 | |
| 116,25 | -1,2 | 115,05 | |
| 118,12 | +3,5 | 121,72 | |
| 119,06 | -2,4 | 116,82 | |
| 119,53 | +2,5 | 122,20 | |
| 472,96 | 475,79 | |
| 119,77 | +2,4 | 122,17 | |
| 119,88 | +1,2 | 121,08 | |
| 119,94 | -4,8 | 115,14 | |
| 1119,97 | 119,97 | ||
| 479,56 | 478,36 |
Определим теперь значения параметров а и b, К на основе данных таблицы:
;
;
.
В итоге имеем
уt = 114 – 38,8 ∙ 0,35t.
Итак, метод трех сумм "работоспособен" в сравнительно узких пределах колебаний исходных данных, а результаты весьма чувствительны к случайным возмущениям.
Рассмотрим метод трех сумм к оценке параметров кривой Гомперца. Напомним, что с помощью логарифмирования кривую Гомперца легко представить в виде модифицированной экспоненты
ℓog a + ℓog K + bt ℓog a
Пользуясь рассмотренным методом определения параметров модифицированной экспоненты, получим:
;
;
или
.
Аналогичный подход возможен при оценке логистической кривой, вида:
,
;
;
или
.
Если логистическая кривая имеет вид:
,
то метод трех сумм для оценки параметров можно применить следующим образом. Пусть, как и выше, ряд разбит на три части:
; 
; 
.
тогда
;
;
.
где
.
Определим теперь разности:
;
.
Отсюда отношение разностей составит:
.
Таким образом,
.
Имеем,
.
После преобразования получим:
Поскольку:
;
получим:
.