Дарбина-Уотсона

Автокорреляция в остатках, критерий

Остатков

Гомоскедастичноость, гетероскедастичность

Как упоминалось, при оценке параметров уравнения регрессии применяется метод наименьших квадратов. При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей ε.

В модели

у = а + а₁х₁ + а₂х₂ + … + а_кх_к+ ε

случайная составляющая ε представляет собой ненаблюдаемую величину. Задача заключается в том, чтобы одновременно исследовать случайную величину ε_i.

В предыдущих разделах мы остановились на формальных проверках статистической достоверности коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента, F-критерия Фишера. При использовании этих критериев делаются предположения относительно поведения остатков ε_i. Утверждалось, что остатки представляют собой независимые случайные величины.

Затем осуществляется исследование остатков. Предусматривается следующие пять предпосылок:

- случайный характер остатков;

- нулевая средняя величина остатков, не зависящая от х_i;

- гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения ε_i одинакова для всех значений х;

- остатки ε_i не имеют постоянной дисперсии;

- остатки ε_i носят систематический характер.

Итак, в соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора x_j остатки ε_i имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, тогда имеет место гетероскедастичность.

 

 

Рассмотрим уравнение регрессии вида

y_t = a + ,

где k ─ число независимых переменных модели.

Для каждого момента времени t = 1,2 …, n значение ε_t определяется, как:

или

.

Существуют два наиболее распространенных метода определенияавтокорреляции остатков. Первый метод ─ построение графика зависимости остатков от времени визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод ─ использование критерия Дарбина ─ Уотсона и расчет величины:

.

Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется, как:

;

где ;

После соответствующих преобразований получим:

Итак, соотношение между критерием Дарбина ─ Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков имеет следующий вид:

d ≈ 2 · (1 - ).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то = -1, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0 и d = 2. Следовательно, 0 ≤ d ≤ 4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина ─ Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н₁, Н₁^* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции остатков. Далее рассчитываются критические значения критерия Дарбина ─ Уотсона d_L и d_v для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели К и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0; 4] разбивают на пять отрезков, принятые или

 

Есть положительная автокорреляция остатков.(Н0) отклоняется с вероятностью р = (1 - α) принимается H1

Зона неопределенности

Нет оснований отклонять (Н0) (автокорреляция остатков отсутствует)

Зона неопределенности

Есть отрицательная автокорреляция остатков. (Н0) отклоняется с вероятностью р = (1 - α) принимается H1*

 

Отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1 - α) осуществляется в зависимости от значений коэффициента автокорреляции.

Если значение Дарбина ─ Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н₀.