Кривая Гомперца и логистическая кривая

В некоторых расчетах нашла себе применение S-образная кривая, получившая название кривой Гомперца. Функция имеет вид:

у_t = Kab^t

На рис. 4 представлены четыре варианта этой функции:

 

a) б)

 

в) г)

 

Рис. 4. Кривая Гомперца

 

Наибольший интерес представляет кривая Гомперца, у которой ℓog a <0, b < 1 (вариант а на рис. 2). Рассматривая кривую Гомперца, можно выделить четыре этапа в развитии уровня, границы между которыми более или менее условны. Если коэффициент b меньше единицы (при отрицательном ℓog a) , то обнаруживается, что на первом этапе прирост незначителен. Причем он медленно увеличивается по мере роста t, на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, затем после перегиба приросты начинают уменьшаться. Вблизи от линии асимптоты приросты опять незначительны.

Если в модифицированной экспоненте уt = K + ab^t вместо y_t ввести обратную величину, т.е. 1/y_t, получим вторую S-образную кривую – логистическую кривую (рис. 5).

,

которую иногда называют кривой Перла-Рида.

Рис. 5. Логистическая кривая Перла-Рида

 

Логистическую кривую чаще записывают в следующем виде:

,

где е – основание натуральных логарифмов;

f(t) – некоторая функция от t ( обычно f(t) = - at),

тогда, .

Если b = 1, а вместо натуральных логарифмов взять за основание десятичных логарифмов и принять, что f(t) =а + b(t), получим логистической кривой:

.

Логистическая кривая схожа с кривой Гомперца. Обе кривые характеризуют рост с изменяющимся отношением прироста к ординате. Отличие заключается в том, что у кривой Гомперца постоянны отношения первых разностей логарифмов, а у логистической неизменны отношения первых разностей обратных их значений.

Экспоненциальные кривые хорошо описывают процессы имеющие "лавинообразный" характер, т.е. когда прирост зависит в основном от достигнутого уровня, при этом различного рода ограничения, факторы практически не берется во внимание.

В сущности, S-образные кривые описывают два последовательных лавинообразных процесса: один с ускорением развития, другой – с замедлением.

Модифицированная экспонента, кривая Гомперца и логистическая кривая при определенных значениях своих параметров имеют асимптоты, проходящие выше этих кривых, поэтому эти кривые пригодны для описания различного вида экономических и иных процессов. Например, S-образные кривые находят применение в оценке количественных показателей спроса, выпуска продукции, доходности и т.д.