Экспоненты

Исследование спроса, а также других экономических показателей в зависимости от количественных данных возможно осуществить на основе показательных функций. Рассмотрим ряд функций.

Самая простая показательная (экспоненциальная) кривая имеет вид:

у_t = ab^t (1)

Если b > 1, то кривая растет вместе с ростом t, падает, если b < 1.

Прологарифмировав (1), получим:

ℓog y_t = ℓog a + tℓog b .

Введем обозначения:

α = ℓog а, β = ℓog b.

Тогда, ℓog y_t =α + βt, т.е. логарифм ординаты линейно зависит от t.

Более усложненным вариантом экспоненциальной кривой является кривая, следующего вида:

yt =ab^t ct², т.е. логарифмическая парабола. В самом деле:

ℓog y_t = ℓog a + tℓog b +t²ℓog c.

В ряде случаев, когда процесс характеризуется насыщением, его описание имеет смысл лишь при помощи кривой, имеющей асимптоту, отличающуюся от нуля. Наиболее простым представителем семейств таких кривых является кривая, получившая название модифицированной экспоненты. Ее отличие от простой экспоненты (1), в том что в нем содержится дополнительное слагаемое К:

y_t = К + ab^t (2)

Эта функция имеет горизонтальную асимптоту у = к, и ее график стремится к асимптоте либо при t→∞, либо при t→ -∞, но никогда не пересекает.

На рис. 3 показаны четыре варианта кривой: из них чаще встречается вариант, при котором рост уровня происходит с замедлением и уровень стремится к некоторому пределу. В этом случае a < 0, b < 1.

Рис. 3. Модифицированная экспонента

(четыре варианта)