Стационарные и нестационарные ряды
Тест к разделу 2
1. Выберите наиболее привлекательные функции для изучения зависимостей между двумя факторами:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
2. Отметьте линейные виды регрессионных моделей:
а) 
;
б) ;
в) ;
г) 
3. Укажите адекватные функции коэффициента корреляции:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
4. Отметьте условия, при которых (Н0) отклоняется:
а) Fтабл. < Fфакт.;
б) Fтабл. > Fфакт.
5. Отметьте функции для оценки случайных ошибок коэффициента корреляции:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
РАЗДЕЛ 3. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
В первую очередь рассмотрим стационарные и нестационарные ряды. Будьте внимательны! Затрагиваются вопросы о будущем состоянии системы, хотя все еще на локальном уровне. Практически необходимо найти ответ на такие вопросы: в какой степени можно увеличить выпуск продукции, по каким ценам можно выставлять товары на потребительском рынке и т.д.
Цель раздела: закрепление теоретических знаний для осуществления прогностических оценок экономических показателей.
Различают два вида рядов: стационарные и нестационарные. Стационарные ряды - это такие ряды, в которых не содержится тренд (рис.1):
|
Рис. 1. Стационарные ряды
В нестационарных рядах содержится тренд (рис.2):
|
Рис. 2. Нестационарные ряды
Стационарный ряд должен иметь постоянное среднее и должен колебаться вокруг этого среднего с постоянной дисперсией.
Стационарный ряд должен иметь одну и ту же функцию распределения при любых значениях t, а в более общем виде, если имеется ряд ut необходимо, чтобы последовательные группы значений ut+1, ut+2,..., ut+k имели одинаковые многомерные распределения при любых значениях t и k. И все же стационарный ряд имеет вероятный характер, но остается неизменным во времени.
3.2. Авторегрессия, автокорреляция
Пусть задан ряд значений:
u1, u2,...,um.
Если предшествующие члены этого ряда находятся в зависимости с последующими в момент t, мы имеем дело с авторегрессионной моделью.
В общем виде авторегрессионная модель имеет вид:
ut = f (ut-1, ut-2,..., ut-m).
Линейный ее вариант можно записать в следующем виде:
ut = a1ut-1 + a2ut-2 +...+ amut-m + et,
где et - малая величина;
m - число членов, которое охватывает автокорреляционная модель (порядок автокорреляции).
Очевидно, что (u1, u2); (u2, u3);...; (um-1, um) образуют множество двухмерных величин с соответствующими коэффициентами корреляции стандартного типа.
Однако другие пары, в частности (u1, u3); (u2, u4); (u3, u5) и т.д. тоже образуют множество двухмерных величин, но в отличие от первого они образуют сериальные коэффициенты корреляции порядка k, т.е. rk.
Итак, если имеется функция
yt = f(yt-1, yt-2,..., yt-k),
то в этом случае для характеристики взаимосвязи используются так называемые авторегрессионные модели.
Линейный ее аналог имеет вид:
yt = a1yt-1 + a2yt-2 +...+ amyt-m.
Расчет коэффициента автокорреляции имеет вид:
;
где 
; 
Аналогично, коэффициент автокорреляции второго и более высоких порядков:
;
где 
; 
.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины Лага, принято называть коррелограммой.
3.3. Модели прогнозирования
Интерес к будущему возникает из непосредственной и острой практической потребности. Необходимость предвидения вероятного исхода отдельных экономических составляющих, в частности, спроса, предложения, стоимостных показателей, емкости рынка и т.д. особенно важна для бизнесменов, предпринимателей, менеджеров и т.п.
Предвидение событий позволяет заблаговременно приготовиться к ним, учесть их положительные и отрицательные последствия, а если есть возможность, то вмешаться в ход развития, контролировать его и, что более важно исследовать альтернативы будущего состояния.
Процессу прогнозирования предшествует аналитическая оценка исходной системы. Она должна производиться на основе охвата комплекса внутренних и внешних факторов. Затем происходит процесс прогнозирования, следовательно, и прогностическая оценка показателей.
Как правило, процесс прогнозирования осуществляется на основе формул:
1. y = a + bt
2. y = a + bt + ct2
3. y = a + bt + ct2 + dt3 и т.д.
Прогнозирование также может осуществляться на основе следующих формул:
или
;
;
;
и другие.
(для оценивания параметров прямой).
(для параболы второй степени).
(для параболы третьей степени).
Поскольку полином выше третьей степени встречаются крайне редко при обработке динамических данных, то стандартные уравнения для них приводить не будем.
Для расчета величины ∑t, ∑t2 … получены следующие формулы:
В случае если полином имеет невысокую степень, то нет необходимости прибегать к трудоемким операциям. Достаточно воспользоваться формулами:
;
.
Или после преобразования получим более удобные выражения:
; 
.
Иногда происходит перенос начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами стандартные уравнения и расчеты.
Для прямой:
Для параболы второй степени:
Для параболы третьей степени:
Следовательно:
(для прямой).
;
(для параболы второй степени).
;
;
;
.
Значения ∑t2, ∑t4, ∑t6 можно получить по следующим формулам для нечетного n:
;
;
.
Для четного:
;
;
.
Пример. Предположим, имеются данные, которые характеризуют динамику спроса на товары потребления за 15 месяцев (табл. 1).
Таблица 1
Динамика спроса за 15 месяцев
| № пп | у | № пп | у | № пп | у |
| 18,3 | 26,3 | 37,8 | |||
| 19,4 | 29,4 | 39,3 | |||
| 21,6 | 31,8 | 41,8 | |||
| 23,4 | 33,4 | 44,3 | |||
| 25,8 | 35,6 | 47,4 |
При этом коэффициент использования производственных мощностей не превышает 65%, а насыщенность потребительского рынка 85%.
Требуется предвидеть дальнейшее поведение спроса, если сложившаяся тенденция сохранится.
Исходя из данных таблицы, тенденция может быть описана на основе следующих функции:
1. yt = a + bt
2. yt = a + bt + ct2
Начнем исследование спроса с линейной функции:
yt = a + bt
Составляем систему стандартных уравнений:
Для решения системы стандартных уравнений составляем вспомогательную таблицу:
Таблица 2
Расчет параметров системы
| № пп | уt (ф) | t ∙ yt (ф) | t2 | t2 ∙ yt (ф) |
| 18,3 | 18,3 | 18,3 | ||
| 19,4 | 38,8 | 77,6 | ||
| 21,6 | 64,8 | 194,4 | ||
| 23,4 | 93,6 | 374,4 | ||
| 25,8 | 129,0 | |||
| 26,3 | 157,8 | 946,8 | ||
| 29,4 | 205,8 | 1440,6 | ||
| 31,8 | 254,4 | 2035,2 | ||
| 33,4 | 300,6 | 2705,4 | ||
| 35,6 | 256,0 | 3560,0 | ||
| 37,8 | 415,8 | 4573,8 | ||
| 39,3 | 471,6 | 5659,2 | ||
| 41,8 | 543,4 | 7064,2 | ||
| 44,3 | 620,2 | 8682,8 | ||
| 47,4 | 711,0 | 16665,0 | ||
| ∑t=120 | ∑уt =475,6 | ∑t ∙ yt = 4381,1 | ∑t2=1240 | t2 ∙ yt =48642,7 |
Составляем систему стандартных уравнений в количественном отношении:
Решаем систему:
(2) – (1)
4,8 – 2,3b | b = 2,1
31,71 = a + 8 ∙ 2,1
a = 14,91.
Итак, уt =14,91 + 2,1t.
Согласно выявленной функции оценка уровня спроса при t = 0 равна 14,91 млн. рублей, среднемесячный прирост спроса 2,1 млн. рублей.
Для прогнозирования спроса на базе выявленной функции на одну точку в период необходимо в нее подставить соответствующие значения временного периода, т.е. t = 16, 17 … 20 …
Итак, прогнозное значение спроса:
уt16= 14,91 + 2,1 ∙ 16 = 48,51.
уt17= 14,91 + 2,1 ∙ 17 = 50,61.
уt20= 14,91 + 2,1 ∙ 20 = 56,91.
2. Исследование спроса осуществить на основе параболистической функции
yt = a + bt + ct2
Составляем систему:
Решение системы стандартных уравнений можно упростить. Для расчета суммы получены следующие формулы:
;
;
;
.
В нашем случае:
;
;
;
Получим количественную систему:
| 475,6 = 15a + 120b + 1240с | : 15 | |
| 4381,1 = 120a + 1240b + 14400c | : 120 | |
| 48642,7 = 1240a + 14400b + 2455200c | :1240 |
31,71 = а + 8b + 82,7c (1)
36,51 = a + 10,73b + 120c (2)
39,23 = a + 11,61b + 1980c (3)
(3) – (1)
7,52 = 2,33b + 1897,3c
(3) – (2)
2,72 = 1,28b + 1860c
Имеем:
| 7,52 = 2,33b + 1897,3c | : 2,33 |
| 2,72 = 1,28b + 1860c | : 1,28 |
3,23 = b + 814,28c (1)
2,13 = b + 1453,13c (2)
(1) – (2)
1,1 = 638,84с | c = 0,0017.
3,23 = b + 814,29 ∙ 0,0017;
b = 3,23 – 1,38 = 1,85
31,71 + а + 8b + 82,7c
31,71 = a + 8 ∙ 1,85 + 82,7 ∙ 0,0017
a =31,71–(14,8+0,14)=31,71–14,94 = 16,77
Итак, уt = 16,77 + 1,85t + 0,0017t2.
Прогноз спроса:
уt(16) = 16,77 + 1,85 ∙ 16 + 0,0017 ∙ 162 =
= 16,77 + 29,6 + 0,44 = 46,81;
уt(17) = 16,77 + 1,85 ∙ 17 + 0,0017 ∙ 172 =
= 16,77 + 31,45 + 0,49 = 48,71;
уt(20) = 16,77 + 1,85 ∙ 20 + 0,0017 ∙ 202 =
= 16,77 + 37,0 + 0,68 = 54,45.