Предположения модели

Классическая линейная модель множественной регрессии

Рассмотрим обобщение линейной регрессионной модели для случая более двух переменных.

Всякий раз, когда изучаемый процесс или явление является результатом совместного действия нескольких факторов, у исследователя возникает потребность в оценке влияния каждого фактора в отдельности. Один из стандартных методов[3], позволяющий успешно решить эту задачу, суть множественная регрессия.

Пусть мы располагаем выборочными наблюдениями над k переменными Y_i и , j=1,..., k, i=1,2,…,n, где n – количество наблюдений:

		…	i	…	n
Y₁,	Y₂,	…	Y_i,	…	Y_n
X₁₁,	X₁₂,	…	X_1i,	…	X_1n
…	…	…	…	…	…
X_k1,	X_k2,	…	X_ki,	…	X_kn

Предположим, что существует линейное соотношение между результирующей переменной Y и k объясняющими переменными X₁, X₃, ..., X_k. Тогда с учетом случайной ошибки u_i запишем уравнение:

(3.1)

В (3.1) неизвестны коэффициенты , j=0,2,…,k и параметры распределения u_i. Задача состоит в оценивании этих неизвестных величин. Модель (3.1) называется классической линейной моделью множественной регрессии (КЛММР). Заметим, что часто имеют в виду, что переменная X₀ при b₀ равна единице для всех наблюдений i=1,2,…,n.

Относительно переменных модели в уравнении (3.1) примем следующие основные гипотезы:

E(u_i)=0; (3.2)

(3.3)

X₁, X₃, ..., X_k – неслучайные переменные; (3.4)

Не должно существовать строгой линейной

зависимости между переменными X₁, X₃, ..., X_k. (3.5)

Первая гипотеза (3.2) означает, что переменные u_i имеют нулевую среднюю.

Суть гипотезы (3.3) в том, что все случайные ошибки u_i имеют постоянную дисперсию, то есть выполняется условие гомоскедастичности дисперсии (см. подробнее раздел 4).

Согласно (3.4) в повторяющихся выборочных наблюдениях источником возмущений Y являются случайные колебания u_i, а значит, свойства оценок и критериев обусловлены объясняющими переменными X₁, X₃, ..., X_k.

Последняя гипотеза (3.5) означает, в частности, что не существует линейной зависимости между объясняющими переменными, включая переменную X₀, которая всегда равна 1.

Понятно, что условия (3.2)-(3.4) соответствуют своим аналогам для случая двух переменных в п.2.2.