Общее понятие о системах уравнений

Системы эконометрических уравнений

Лекция 3

 

Объектом статистического изучения в социальных науках яв­ляются сложные системы. Измерение тесноты связей между пе­ременными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механиз­ма их функционирования. При использовании отдельных урав­нений регрессии, например, для экономических расчетов в боль­шинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) мож­но изменять независимо друг от друга. Однако это предположе­ние является очень грубым: практически изменение одной пере­менной, как правило, не может происходить при абсолютной не­изменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков.

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдель­ных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических и социоло­гических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений. Напри­мер, если изучается модель спроса как соотношение цен и коли­чества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозиро­вания спроса необходима модель предложения товаров, в кото­рой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

В еще большей степени возрастает потребность в использова­нии системы взаимосвязанных уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Модель национальной экономики включает в себя следующую систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработ­ной платы, тождество доходов и т.д. Это связано с тем, что макро­экономические показатели, являясь обобщающими показателя­ми состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Так, рас­ходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового нацио­нального дохода рассматривается как функция инвестиций.

Система уравнений в эконометрических исследованиях мо­жет быть построена по-разному.

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зави­симая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

Набор факторов х_i в каждом уравнении может варьировать. Например, модель вида

также является системой независимых уравнений с тем лишь от­личием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравне­нии системы может быть следствием как экономической нецеле­сообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение F-критерия или частного F-критерия для данного фактора).

Примером такой модели может служить модель экономической эффективности сельскохозяйственного производства, где в качест­ве зависимых переменных выступают показатели, характеризую­щие эффективность сельскохозяйственного производства, — продуктивность коров, себестоимость 1 ц молока, а в качестве факторов — специализация хозяйства, количество голов на 100 га пашни, затраты труда и т. п.

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его парамет­ров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член а₀. Так как фактические значения зависимой пе­ременной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.

В итоге система независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах примет вид:

 

 

Однако если зависимая переменная у одного уравнения вы­ступает в виде фактора х в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

 

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые пе­ременные предшествующих уравнений наряду с набором собст­венно факторов х. Примером такой системы может служить мо­дель производительности труда и фондоотдачи вида:

 

 

где у₁ — производительность труда;

у₂ — фондоотдача;

х₁ — фондовооруженность труда;

х₂ — энерговооруженность труда;

х₃ — квалификация рабочих.

Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может рас­сматриваться самостоятельно, и его параметры определяются ме­тодом наименьших квадратов.

Наибольшее распространение в эконометрических исследо­ваниях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в ле­вую часть, а в других уравнениях — в правую часть системы:

 

 

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида:

 

 

где у₁ — темп изменения месячной заработной платы;

у₂ — темп изменения цен;

х₁ — процент безработных;

х₂ — темп изменения постоянного капитала;

х₃ — темп изменения цен на импорт сырья.