Нелинейная парная регрессия
5.1. Функции и их характеристики
Наиболее популярные функции регрессии приведены в табл.5.1.
таблица 5.1
| Вид функции у |
Первая производная 
| Коэффициент
эластичности
|
| 1.Линейная y=a+bx+c | b | bx/(a+bx) |
| 2.Парабола второй степени: y=a+bx+cx2+ε | b+2cx | (b+2cx)x/(a+bx+cx2) |
| 3.Гиперболическая y=a+b/x+ε | -b/x2 | -b/(ax+b) |
| 4.Показательная y=a·bx·ε | (lnb)abx | x·lnb |
| 5.Степенная y=a·xb·ε | abxb-1 | b |
| 6.Полулогарифмическая y=a+blnx+ε | b/x | b/(a+blnx) |
| 7.Логистическая y=a/(1+b-cx+ε) | (a·b·c·e-cx)/(1+be-cx)2 | 
|
| 8.Обратная y=1/(a+bx+ε) | -b/(a+bx)2 | -bx/(a+bx) |
5.2 Корреляция при нелинейной регрессии
Уравнение нелинейной регрессии дополняется показателем корреляции – индексом корреляции.
Для любых моделей, в том числе и нелинейных, показатель корреляции вычисляется так:
Если модель нелинейная относительно объясняющей переменной приводится к виду парной или множественной регрессии, то линейный коэффициент корреляции совпадает с индексом корреляции.
Иначе дело обстоит, если линеаризация связана с преобразованием результативной переменной у. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признака числено не совпадает с индексом корреляции. Тем не менее, в большинстве практических случаев эти значения бывают достаточно близки.
Индекс детерминации R2 можно использовать для расчёта F- статистики Фишера, по значению которой оценивается существенность уравнения в целом.
Пусть для некоторой зависимости построены линейные и нелинейные модели. Тогда индекс детерминации 
можно сравнить с коэффициентом детерминации линейной модели 
.Чем больше кривизна линии регрессии, тем более будет меньше, чем и наоборот .Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Если разность –не превышает 0,1; 0,15, то предположение о линейной форме связи вполне оправдано.В противном случае существенность этого различия оценивают по t – статистике Стьюдента.
На практике считают, что если t < 2, то вполне подходит линейная регрессия.