Временные ряды

Временной ряд x(t) — это множество значений величины x, отвечающих последовательности моментов времени t, т.е. это функция t®x(t), которая обычно считается случайной. Обсуждению свойств временного ряда как случайной функции, или случайного процесса мы посвятим §11. Пока же будем рассматривать одну из реализаций случайного процесса x(t) как функцию, заданную на некотором промежутке времени, например, на промежутке [0,Т] или же в отдельных дискретных точках t=t_k (k=0, 1, 2,…).

Во многих случаях можно принять шаг по времени Dt постоянным, при этом значение величины x(t), отвечающее моменту времени t_k=kDt будем обозначать символом x_k или x_t (t=0,1,…,N ), полагая Dt=1.

Значения временного ряда формируются под воздействием большого числа факторов, которые условно можно разделить на три группы:

- факторы, формирующие тенденцию ряда — тренд;

- факторы, формирующие циклические колебания ряда;

- случайные факторы.

В большинстве случаев временной ряд можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда (Y = T+S+E). Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда (Y = T*S*E). Основная задача эконометрического исследования — выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений временного ряда или при построении модели взаимосвязи двух или более временных рядов.

При наличии во временном ряде тренда и циклических колебаний последующие значения временного ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными значениями временного ряда называют автокорреляционной. Определение корреляционной функции временного ряда будет сформулировано в §11.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость последовательных значений ряда от времени, или тренда.

Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

- линейная y = a+bt;

- многочлен m-ого порядка: y = a+b₁ t+b₂ t²+…+b _m t ^m ;

- гиперболическая

- экспоненциальная

- степенная: y = a t^b .

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить методом наименьших квадратов, используя в качестве независимой переменной время t, а в качестве зависимой переменной — фактические значения временного ряда y_t. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Для анализа периодической составляющей непрерывного временного ряда можно использовать аппарат тригонометрических рядов Фурье

(10.1)

где T — период, т.е. x(t+T) = x(t), а коэффициенты ряда a_k, b_k вычисляются по формулам:

. (10.2)

Для описания периодической составляющей дискретного временного ряда x_t (t=0,1,2,…,2N-1) используют дискретное преобразование Фурье, которое обычно записывают в виде

При этом коэффициенты c_k вычисляются по формуле

Указанные вычисления легко выполняются на компьютере, например, в MS Excel предусмотрена опция «Анализ Фурье», размещенная в упоминаемой выше надстройке «Пакет анализа».