Нелинейные модели

Мы изучили применение метода наименьших квадратов для определения параметров, которые входят в функциональные зависимости линейно. Поэтому для них в §§4-5 получились системы линейных уравнений (4.4), (5.6). Однако в эконометрике приходится иметь дело и с такими функциональными зависимостями, неизвестные параметры которых входят в эти зависимости нелинейно. Например:

- параметр a в зависимостях

y=ax^a ,

y=ae^ax

в случае двух величин (x,y);

- параметры a₁, a₂, …, a_m в зависимости

(9.1)

и др.

Типичным примером является функция Кобба–Дугласа y=aL^aK^b, где a>0, 0<a<1, 0<b <1. Эта функция выражает зависимость произведенной продукции y от объема привлеченных трудовых ресурсов (числа рабочих, человеко-часов и т.п.) L и объема основных производственных фондов K.

При определении параметров a или параметров a₁, a₂, …, a_m методом наименьших квадратов указанные функции следует предварительно прологарифмировать. Например, логарифмирование степенной функции y=ax^a дает уравнение

ln y=ln a+a ln x,

линейное относительно величин A=ln a и a. Сделав замену переменных: Y=ln(y),

A=ln(a), X=ln(x), получим соотношение Y=A+aX, определение параметров которого по методу наименьших квадратов приведет к системе линейных уравнений. Линеаризация формулы (9.1) также достигается логарифмированием:

ln y=ln a+ a₁ln x₁+a₂ln x₂+…+a_mln x_m,

Замена переменных: Y=ln y, A=ln a, X_i=lg x_i приводит к модели линейной множественной регрессии

Y=A+a₁X₁+a₂X₂+…+a_mX_m.

Есть модели, которые не могут быть приведены к линейному по коэффициентам виду. Например:

.

Для оценки параметров таких моделей используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого метода вычислений. Однако гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду.

Таким образом, мы различаем два класса нелинейных моделей:

- модели, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

- модели, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примерами нелинейных моделей первого класса могут служить

- полиномы: y = a₀+a₁ x+a₂ x²+…+a_m x^m ;

- гиперболическая зависимость: ;

- тригонометрические полиномы:

y= a₁ sin x +b₁cos x + a₂ sin 2x +b₂ cos2 x+… + a_m sin mx +b_mcos mx.

К нелинейным моделям второго класса относятся, например, функции:

- степенная: y = ax^b ;

- показательная: y = ab^x .