ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКОНОМЕТРИКИ.

 

Эконометрика – измерения в экономике. Слово «эконометрика» введено в 1926 году норвежским экономистом и статистиком, лауреатом Нобелевской премии Рагнаром Фришем. Современное экономическое образование на западе держится на трех китах: макроэкономике, микроэкономике и эконометрике. В централизованной плановой экономике эконометрика была не нужна, поскольку все планы спускались сверху, не возникало необходимости прогнозировать возможные модели экономического поведения в той или иной ситуации, например. Кроме того, эконометрические методы способны были выявить те или иные нежелательные для властей тенденции экономического развития. В настоящее время наши вузы стали перестраиваться в этом направлении. Почему же эконометрика так важна? Ответить на этот вопрос сложно, и, я надеюсь, что к концу нашего курса вы немного на этот вопрос ответите. Чем больше профессионалом становится экономист, тем он больше понимает, что в экономике все зависит от всего. Для того чтобы понять, каким именно образом выражается эта зависимость, и служат эконометрические методы.

Что же за наука эконометрика? Дать определение живой, развивающейся науке, описать ее предмет и метод достаточно трудно. «Эконометрика» – наука об экономических измерениях, но это то же самое, что сказать, что математика – наука о числах. Понятие эконометрика имеет несколько более узкое содержание и назначение, чем это выражено в буквальном переводе и, в то же время, более широкое, чем просто набор статистических инструментов. Современный взгляд на эконометрику отражен в следующем определении:

Эконометрика – научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе

1. экономической теории;

2. экономической статистики;

3. математико-статистического инструментария

придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией. (С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян. Прикладная статистика и основы эконометрики.)

Иными словами, эконометрика позволяет на базе положений экономической теории и исходных данных экономической статистики, используя необходимый математико-статистический инструментарий, придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям.

 

Другие взгляды:

 

Метод экономического анализа, который объединяет экономическую теорию со статистическими и математическими методами анализа. Это попытка улучшить экономические прогнозы и сделать возможным успешное планирование [экономической] политики. В эконометрике экономические теории выражаются в виде математических соотношений, а затем проверяются эмпирически статистическими методами. Данная система используется, чтобы создать модели народного хозяйства с целью прогнозирования таких важных показателей, как валовой национальный продукт, уровень безработицы, темп инфляции и дефицит федерального бюджета. Эконометрика используется все более широко, несмотря на то, что полученные с помощью нее прогнозы не всегда оказывались достаточно точными.

The Concise Columbia Electronic Encyclopedia, Third Edition. http://www.encyclopedia.com/

 

 

«Подобно математической экономике, эконометрика — это скорее нечто, чем занимаются экономисты, чем определенная предметная область. Эконометрика связана с изучением эмпирических данных статистическими методами; цель этого — проверка гипотез и оценка соотношений, предложенных экономической теорией. В то время как математическая экономика занимается чисто теоретическими аспектами экономического анализа, эконометрика пытается подвергнуть проверке [falsify] теории, которые уже представлены в явной математической форме. Однако часто эти две области экономической науки пересекаются».

из статьи Марка Блауга для Британской энциклопедии

 

«Проблемы в эконометрики многочисленны и разнообразны. Экономика — это сложный, динамический, многомерный и эволюционирующий объект, поэтому изучать ее трудно. Как общество, так и общественная система изменяются со временем, законы меняются, происходят технологические инновации, поэтому найти в этой системе инварианты непросто. Временные ряды коротки, сильно агрегированы, разнородны, нестационарны, зависят от времени и друг от друга, поэтому мы имеем мало эмпирической информации для изучения. Экономические величины измеряются неточно, подвержены значительным позднейшим исправлениям, а важные переменные часто не измеряются или ненаблюдаемы, поэтому все наши выводы неточны и ненадежны. Экономические теории со временем меняются, соперничающие объяснения сосуществуют друг с другом, и поэтому надежная теоретическая основа для моделей отсутствует. И среди самих эконометристов, по-видимому, нет согласия по поводу того, как следует заниматься их предметом».

из книги Д. Хендри D. F. Hendry, Dynamic Econometrics, Oxford University Press, 1995, p.5.

 

 

«Существует две вещи, процесс изготовления которых лучше не видеть: сосиски и эконометрические оценки». Э. Лимер E. E. Leamer, "Lets’s Take the Con out of Econometrics," American Economic Review, 73 (1983), 31-43.

В редакционной статье, открывающей первый номер журнала Econometrica (старейшего эконометрического журнала) нобелевский лауреат Р. Фриш писал:

«... Основной целью [Эконометрического общества] будет стимулирование исследований, которые направлены на объединение теоретико- количественного и эмпирико- количественного подходов к экономическим проблемам, и которые проникнуты конструктивными и строгими рассуждениями того рода, которые преобладают в естественных науках.

Но количественный подход к экономике имеет несколько аспектов, и сам по себе ни один из этих аспектов не следует путать с эконометрикой. Таким образом, эконометрика - это ни в коей мере не то же самое, что экономическая статистика. Она также не совпадает и с тем, что мы называем общей экономической теорией, хотя значительная часть этой теории, безусловно, имеет количественный характер. Эконометрику нельзя также рассматривать как синоним применения математики в экономической теории. Опыт показал, что каждая из этих точек зрения, т.е. статистики, экономической теории и математики, является необходимым, но по отдельности не достаточным, условием реального понимания количественных отношений современной экономической жизни. Сила заключается в объединении этих трех элементов. И именно это объединение составляет эконометрику».

Frisch, R. "Editorial," Econometrica, 1 (1933), 1-4.

 

Согласно же нашему определению, эконометрика – синтез экономической статистики, экономической теории и математики, наука, связанная с эмпирическим выводом экономических законов, синтез экономической статистики, экономической теории и математики. Т. е. мы используем данные или наблюдения для того, чтобы получить количественные зависимости для экономических законов. Заметим, что отсюда уже следует, что для использования эконометрических методов, нам нужны данные или наблюдения состояния или поведения какого-то экономического объекта. Данные эти как правило, не являются экспериментальными, в отличие от других наук, где используются методы мат. статистики – физики, биологии и др. В экономике мы не можем проводить многократные эксперименты, для того, чтобы проверить правильность наших выводов и в этом специфика экономических данных.

 

Прикладные цели эконометрики.

· вывод экономических законов;

· формулировка экономических моделей, основываясь на экономической теории и эмпирических данных;

· оценка неизвестных величин (параметров) в этих моделях;

· прогнозирование и оценка точности прогноза;

· выработка рекомендаций по экономической политике.

 

Как же экономист добивается поставленных перед собой целей. В ходе эконометрического исследования экономист последовательно проходит несколько этапов. Этапы эконометрического моделирования:

1.Человек, начинающий изучать экономику, первым делом приходит к мысли, что в экономике некоторые переменные взаимосвязаны. Формирующийся на рынке спрос на товар рассматривается как функция его цены, затраты, связанные с изготовлением некоторого продукта предполагаются зависимыми от объема производства, потребительские расходы связаны с доходом и др. – примеры связей между двумя переменными, причем одна из переменных выступает в роли объясняемой переменной, другая в роли объясняющей. Для большей реалистичности приходится вводить в соотношение другие объясняющие переменные и случайный фактор. Спрос на товар –цена, потребительский доход, цены на конкурирующие, дополняющие и замещающие товары и др. (писать на доске обозначения). Переменную, процесс формирования значений которой нас по каким-то причинам интересует, будем обозначать Y и называть зависимой или объясняемой. Переменные, которые, как мы предполагаем, оказывают влияние на переменную Y, будем обозначать X_j и называть независимыми или объясняющими. Значения этих переменных являются для нее внешними, ничего о том, как формируются эти значения

На этом этапе процесс формирования значений объясняемой переменной можно представить в виде следующей схемы:

X₁,…X_k – выделенные переменные (наиболее существенно влияющие или представляющие для нас определенный интерес).

2.Группировка отдельных соотношений в модель – формулирование некоторых гипотез относительно того, как должны быть связаны переменные. Гипотезы эти возникают на основе теоретических экономических предпосылок, интуиции, опыта исследователя, его здравого смысла. Сразу же возникает вопрос, как проверить правильность модели? В физике, биологии все просто – проводим эксперимент и смотрим, подтверждают ли его результаты наши гипотезы. В экономике все сложнее. Как в экономике проводить эксперименты -? Мы можем только наблюдать за действительностью.

Таким образом, на этом этапе эконометрист занимается моделированием поведения экономических объектов. Моделирование – упрощение реальности объекта. Задача, искусство моделирования состоит в том, чтобы как можно более лаконично и адекватно именно те стороны реальности, которые интересуют исследователя.

Математическая модель схемы:

(1.1).

Если , то уравнение (1) называют уравнение регрессии Y на X₁,…X_k . Функция f – регрессионная функция, линия, которую эта функция описывает в пространстве – линия регрессии.

Пример с заработной платой и возрастом – заработная плата с возрастом растет.

Первая задача – перевести эти предположения на математический язык. К сожалению, проделать это единственным образом нельзя. Что означает возрастающая функция. Есть много функций, которые являются возрастающим функциями своих аргументов. Линейные, нелинейные, разные.

Выход – первоначально сформулировать самую простую модель. Введем следующие обозначения для наблюдаемых экономических параметров:

W – Заработная плата человека;

А – возраст человека;

Простейшая модель (линейная):

Уравнение поведения здесь имеют форму точных функциональных зависимостей. Однако, как мы увидим позднее, это нереалистично и нельзя приступать к эконометрической разработке, не пользуясь некоторыми дополнительными стохастическими спецификациями. Мы добавляем в поведенческие уравнения стохастический член. Поскольку ни для каких реальных экономических данных нельзя обеспечить постоянное соблюдение простых соотношений. Кроме того, из всех возможных объясняющих переменных в спецификацию включается лишь небольшое их подмножество, т. е. мы можем говорить только об аппроксимации моделью некоторых, по-видимому достаточно сложных, но неизвестных нам взаимосвязей. Чтобы обеспечить равенство между правой и левой частью, в каждое соотношение приходится вводить случайную ошибку.

В нашей модели рассматриваются зависимости между некоторыми переменными. Переменные, значения которых объясняются в рамках нашей модели, называются эндогенными. Переменные, значения которых нашей моделью не объясняются, являются для нее внешними, ничего о том, как формируются эти значения, мы не знаем, называются экзогенными. Еще одна переменная – лаговое значение эндогенной переменной. Она тоже для нашей модели внешняя. Экзогенные переменные и лаговые значения эндогенных переменных – предопределенные переменные.

В ходе нашего с вами курса мы с вами столкнемся с несколькими типами эконометрических моделей, которые применяются для анализа и прогноза:

а) модели временных рядов. Такие модели объясняют поведение переменной, меняющейся с течением времени, исходя только из его предыдущих значений. К этому классу относятся модели тренда, сезозонности, тренда и сезонности (аддитивная и мультипликативная формы) и др.

б) регрессионные модели с одним уравнением. В таких моделях зависимая (объясняемая) переменная представляется в виде функции от независимых (объясняющих) переменных и параметров. В зависимости от вида функции модели бывают линейными и нелинейными. Будем изучать именно их.

в) Системы одновременных уравнений. Ситуация экономическая, поведение экономического объекта описывается системой уравнений (наш пример). Системы состоят из уравнений и тождеств, которые могут содержать в себе объясняемые переменные из других уравнений (поэтому вводят понятия экзогенных и эндогенных переменных).

Пункт 2 носит название спецификация модели. Необходимо:

а) определить цели моделирования;

б) определения списка экзогенных и эндогенных переменных;

в) определение форм зависимостей между переменными;

г) формулировка априорных ограничений на случайный член, что важно для свойств оценок и выбора метода оценивания, и некоторые коэффициенты

3.Теперь необходимо модель проверить. Как это сделать, если мы не физики и не биологи? Методы эконометрии, позволяющие проводить эмпирическую проверку теоретических утверждений и моделей, выступают мощным инструментом развития самой экономической теории. С их помощью отвергаются теоретические концепции и принимаются новые, более полезные гипотезы. Теоретик, не привлекающий эмпирический материал для проверки своих гипотез и не использующий для этого эконометрические методы, рискует оказаться в мире своих фантазий. Собрать данные – необходимый статистический материал. Здесь нам на помощь приходят методы экономической статистики и статистики вообще. Разговор на эту тему.

Типы данных, с которыми эконометристу приходится сталкиваться при моделировании экономических процессов:

а) cross-sectional data – пространственные данные – набор сведений по разным экономическим объектам в один и тот же момент времени;

б) time-series data – временные ряды – наблюдение одного экономического параметра в разные периоды или моменты времени. Эти данные естественным образом упорядочены во времени. Инфляция, денежная эмиссия (годовые), курс доллара США (ежедневные);

в) panel data – панельные данные – набор сведений по разным экономическим объектам за несколько периодов времени (данные переписи населения).

4.идентификация модели – статистический анализ модели и, прежде всего – статистическое оценивание параметров. Выбор метода оценивания сюда тоже входит. Зависит от особенностей модели.

5.верификация модели – сопоставление реальных и модельных данных, проверка оцененной модели с тем, чтобы прийти к выводу о достаточной реалистичности получаемой с ее помощью картины объекта, либо признать необходимость оценки другой спецификации модели.

 

Итак, эконометрические методы разработаны, в основном, для оценивания параметров экономических моделей. Каждая модель содержит, как правило, несколько уравнений, а в уравнение входит несколько переменных. Начнем с самого простого – парной линейной регрессионной модели.

 

2. ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ.

 

Эконометрические методы разработаны, в основном для оценивания параметров экономических моделей. Каждая модель содержит, как правило, несколько уравнений, а в каждое уравнение входит несколько переменных. Чтобы понять техническую основу, на которой возникают эти достаточно сложные методы, мы начнем с рассмотрения самого простого случая, рассмотрев одно уравнение, которое содержит только две переменных.

Итак, у нас есть переменная Y, зависимая или эндогенная, характеризующая результат или эффективность функционирования экономической системы, которую мы анализируем. Ее значения формируются в процессе и внутри функционирования этой системы под воздействием ряда других переменных и факторов. По своему характеру переменная Y всегда случайна. Есть набор объясняющих переменных, экзогенных, характеризующих состояние экономической системы. Эти переменные в существенной степени объясняют процесс формирования эндогенных переменных. Эти переменные, как правило, поддаются хотя бы частичному регулированию и управлению. По своей природе они могут быть как случайными, так и детерминированными.

Две переменные могут быть связаны либо функциональной зависимостью (т.е. существует функция f что Y = f(X), значения переменной Y полностью определяются значениями переменной X), либо статистической, либо быть независимыми.

Определения.

1. Если при изменении X меняется закон распределения случайной величины Y, то говорят, что величины (X,Y) связаны статистической зависимостью.

2. Статистическая зависимость называется корреляционной, если при изменении X меняется средняя случайной величины Y.

Приведем пример случайной величины Y, которая не связана с величиной X функционально, а связана корреляционно. Пусть Y – урожай зерна, а X – количество удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают различный урожай, т. е. Y не является функцией от X. Это объясняется влиянием случайных факторов (осадки, температура воздуха и др.). Вместе с тем, как показывает опыт, средний урожай является функцией от количества удобрений, т. е. Y связан с X корреляционной зависимостью.

3. Условным средним = М(Y|X = x) – условное мат. ожидание переменной Y при фиксированном значении X.

Если каждому значению величины X соответствует свое значение , то говорят, что существует корреляционная функция

= f(X) (2.1)

Уравнение (2.1) называют уравнением регрессии Y на X. Т. о. f(X) = M(Y|X=x) – описывает изменение условного среднего значения результирующей переменной в зависимости от изменения значений X объясняющих переменных.

Функциональная зависимость наблюдается крайне редко. Тем не мене, большая часть традиционных экономических теорий, в которой связи между экономическими категориями отражаются с помощью формул, имеют дело с точными алгебраическими соотношениями. Однако если мы посмотрим на отдельные наблюдения переменных, фигурирующих в этих законах, то мы увидим, что они не будут точно соответствовать этим соотношениям. (Функция Коба-Дугласа, например). Кроме того, они почти никогда не будут соответствовать любому другому гладкому соотношению. В учебниках по экономической теории эта проблема решается обычно следующим образом: соотношение приводится, как если бы оно было точным, а читателя предупреждают, что это только аппроксимация. Но нас с вами такой подход устраивать не должен. В математической статистике факт точности соотношения признается путем включения в уравнение случайного фактора, описываемого случайным остаточным членом. В простейшей модели Y=a+bX+e. Величина Y, рассматриваемая как зависимая переменная, состоит из двух составляющих:

1) неслучайной (детерминированной) составляющей a+bX, где X выступает как объясняющая (независимая) переменная;

2) случайного члена e.

Откуда берется этот случайный член. Причин может быть несколько и основная:

1) невключение объясняющих переменных в уравнение. На самом деле на переменную Y влияет не только переменная X, но и ряд других переменных, которые не учтены в нашей модели по следующим причинам:

a) мы знаем, что другая переменная влияет, но не модем ее учесть, потому как не знаем, как измерить (психологический фактор, например);

b) существуют факторы, которые мы знаем, как измерить, но влияние их на Y так слабо, что их не стоит учитывать;

c) существенные переменные, но из-за отсутствия опыта или знаний мы их таковыми не считаем.

Если бы мы точно знали, какие переменные сюда входят и как их надо измерять и имели бы возможность точно их измерить, мы бы могли включить их в уравнение, исключив тем самым соответствующий элемент из случайного члена. Проблема состоит в том, что мы никогда не можем быть уверены, что входит в данную совокупность, а что нет. Даже если бы мы включили все эти факторы в уравнение, то мы бы могли оказаться в ситуации, когда число факторов превысило бы число наблюдений так, что любое статистическое усреднение потеряло бы всякий смысл. Итак, мы можем сказать, что вместо зависимости Y = f(X₁,…,X_n), где n слишком велико для практических целей, мы рассматриваем зависимость с меньшим числом наиболее важных переменных или переменных, которые представляют для нас наибольший интерес.

2) Неправильная функциональная спецификация. Функциональное соотношение между Y и Х может быть определено неправильно. Например, мы предположили линейную зависимость, а она может быть более сложной.

3) Ошибки наблюдений (занижение реального уровня доходов). В этом случае наблюдаемые значения не будут соответствовать точному соотношению, и существующее расхождение будет вносить свой вклад в остаточный член.

Остаточный член является суммарным проявлением всех факторов. Если бы он отсутствовал, мы бы знали, что каждое изменение Y от наблюдения к наблюдению вызвано изменением X и смогли бы точно вычислить коэффициенты. А так каждое изменение Y вызвано изменением X и e, поэтому e иногда называют шумом.

Итак, мы предполагаем, что значения результирующей переменной Y выступают в роли функции, значения которой определяются с некоторой погрешностью значениями объясняющей переменной X, выступающих в роли аргументов этой функции. Математически это может быть выражено в виде уравнения регрессионной связи:

.

где ,

Последнее соотношение в (2.2) следует из смысла функции регрессии, действительно, поскольку , а M(Y(X)|X)=f(X) по определению, M[f(X)|X]=f(X), поскольку величина f(X) при фиксированных значениях параметра X не является случайной.

Содержательные соображения должны подсказать нам форму f(X) – теория, интуиция, опыт, анализ эмпирических данных. Выбор вида функции f(X) – спецификация модели. Одним и тем же условиям могут удовлетворять несколько различных функций, поэтому нам придется обратиться к статистическому анализу и с его помощью осуществить выбор из возможных альтернативных вариантов. Начинают, обычно, с самого простого соотношения между двумя переменными – линейного.

(греческие буквы – неизвестные параметры, латинские – оценки)

Возможны и другие формы зависимости (примеры).

Нас интересуют только те формы зависимости, которые путем преобразования переменных и параметров можно свести к линейным. Т. е. после преобразования переменных и коэффициентов новые переменные и ошибка будут связаны линейным соотношением. Для нелинейных соотношений так же разработан метод оценивания – нелинейный МНК.

Рассмотрим парную линейную модель:

Y=a+bX+e.

Например, мы хотим исследовать зависимость между уровнем заработной платы и возрастом.

Для оценки коэффициентов этого уравнения у нас есть набор наблюдений переменной X и соответствующий набор наблюдений переменной Y. Всего у нас N пар чисел (X_i,Y_i). Этот набор наблюдений называется выборкой. Расположим их на плоскости. Если бы соотношение между Y и X было бы точным, то соответствующие значения Y лежали бы на прямой. Наличие случайного члена приводит к тому, что в действительности значения Y на прямой не лежат. Рассмотрение ошибок на графике.

Y_i=a+bX_i+e_i – выполняется для каждого наблюдения. a, b и e_i нам неизвестны и никогда не будут известны. Мы сможем получить только оценки, хорошие или плохие. Они могут случайным образом совпасть с реальными значениями, но мы этого никогда не узнаем.

Каким образом получить эти оценки? Мы предположили, что переменные Y и X связаны линейной зависимостью, т.е. эта зависимость описывается прямой линией. И теперь наша задача – построить прямую. Из всех возможных прямых мы хотим выбрать ту, чтобы она «наилучшим образом» подходила к нашим данным, т. е. отражала бы линейную зависимость Y от X. Иными словами, мы хотим чтобы каждое Y_i лежало бы как можно ближе к прямой. В качестве меры близости точек к прямой мы введем разность

- остаток или невязка регрессии.

- прогнозное значение переменной Y в i—м наблюдении.

Можно сказать, мы хотим, чтобы желаемая прямая была бы в центре скопления наших данных, т. е. чтобы все Y_i как можно ближе лежали к нашей прямой.

Очевидно, значения a и b надо подбирать таким образом, чтобы минимизировать некоторую интегральную (т. е. по всем имеющимся наблюдениям) характеристику невязок или остатков:

1.

2.

МНК – минимизируем 1. Для нахождения минимума функции двух переменных, нам надо взять частные производные по каждой из них и приравнять их к нулю:

, или

или

Поделим обе части на N, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, получим

из (2.5) получим, что .

Замечание 1. Линия регрессии проходит через точку .

Замечание 2. Мы предполагаем, что среди X_i есть разные, тогда s_X ¹ 0.