Двухшаговый метод наименьших квадратов.
Идентифицируемость СЛОУ.
Метод инструментальной переменной (МИП) и его применение для СЛОУ.
МИП в частности может быть использован как
Сt=α+β*yt+Ut
{
yt=Ct+It
В данном случае определению параметров из уравнения потребления мешает то, что величина Yt коррелирует со случа2ной составляющей и необходимо найти такую переменную которая коррелировала бы с Yt существенным образом, но не корелировала бы со случайной составляющей.
В качестве такой величины можно использовать инвестиции.
Ct=α+β*It+Ut
В этом случае bип=cov(Ct,It) / cov(yt,It)
bкмнк=b׳/(1+b׳)= ( cov(Ct;It)/var(It))/ (cov(Ct;It)/var(It)) =cov(Ct;It) / (var(It)+cov(Ct;It))
yt=Ct+It => cov(y;I)=cov[(C+I);I]=cov(Ct;It)+var(I) => bип=bкмнк
Рассмотрим проблему идентификации на примере линейных уравнений.
y1=α+β1*x1+β2*x2+β3*y2+U1
{
y2=j+β4*x4+β5*y1+U2
y1=α+β1*x1+β2*x2+β3*j+β3*β4*x4+β3β5*y1
y1=(α+β3*j)/(1-β3*β5) + β1*x1/(1-β3*β5) + β2*x2/(1-β3*β5) + β3*β4*x4/(1-β3*β5)
y2=j+β4*x4+β5*α+β5*β1*x1+β5*β2*x2+β5*β3*y2
y2=(j+β5*α)/(1-β5*β3) + β4*x4/(1-β5*β3) + β5*β1*x1/(1-β5*β3) +β5*β2*x2/(1-β5*β3)
y1=α׳+β׳1*x1+β׳2*x2+β׳3*x4+U׳4
{ (2)
y2=j׳+β׳4*x4+β׳5*x1+β׳6*x2+U׳2
К системе уравнений (2) можно применить МНК и получить несмещенные, состоятельные и эффективные оценки.
Однако определить коэффициенты исходной структурной системы уравнений не представляется возможности.
В системе ур. (1) имеет 7 неизвестных коэффициентов, а с помощью МНК из приведённой системы уравнений получим 8 коэффициентов.
Следовательно для 7 неизвестных получим 8 уравнений т.е. система будет сверхидентифиуированна.
В этом случае один коэффициент может быть получен двумя способами и получены различные её значения. В связи с этим необходимо выработать правило проверки идентифицируемости исходной структурной системы уравнений.
Для того, чтобы система уравнений была полностью идентифицируема, неоюходимо чтобы количество коэффициентов приведённой системы уравнений равнялось числу коэффициентов структурной системы уравнений.
Если исходная структурная система уравнений состоит из неидентифицируемых уравнений состоит из неидентифицируемых уравнений то вся система будет неидентифицируема.
Если система уравнений содержит одно не идентифицируемое, 2 сверх идентифицируемое, то система Ур-ий в целом будет идентифицируема.
Необходимым условием идентификации уравнения является выполнение следующего простого счетного правила:
D+1=H - уравнение идентифицируемое
{ D+1<H - уравнение неидентифицируемое
D+1>H - уравнение сверхидентифицируемое
где Н – число эндогенных переменных в уравнении
D – число экзогенных переменных в системе ур-ий не входящих в данное уравнение.
Имеется система линейных одновременных уравнений.
1 шаг) Исходную систему линейных уравнений приводим к приведенной форме уравнения и, применяя метод наименьших квадратов получаем оценки коэффициентов приведенной системы уравнений.
2 шаг) Используя найденные коэффициенты приведенной системы уравнений и значения экзогенных переменных, находим теоретические значения эндогенных переменных. Эти значения переменных подставляем в исходную систему одновременных уравнений вместо фактических значений эндогенных переменных в правой части уравнения.
Т.к. теоретические значения эндогенных переменных не зависят от случайной составляющей. К исходной системе одновременных уравнений можно применить МНК и найти оценки параметров исходной системы уравнений.