Метод инструментальных переменных (МИП) и его применение для параметров уравнения регрессия (общий случай)

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) и его использование для определения параметров СЛОУ.

Данный метод рассматривается на примере определения параметров функции потребления простой кейнсианской модели

 

C_t=α+β*y_t + U_t (1)

{

y_t=C_t+I_t (2)

 

C_t=α/(1-β) + β*I_t/(1-β) + U_t/(1-β)

α׳= α/(1-β) (3)

β׳=β/(1-β) (4) C_t=α׳+β׳*I_t+U׳_t (5)

 

в уравнении (5) слева имеем только экзогенные переменные и к нему может быть применён стандартный МНК и найдены оценки α׳ и β׳

Используя эти оценки из уравнения (3) и (4) можно найти оценки

α= α׳/(1+ β׳) β= β׳/(1+ β׳) Это и есть КМНК

 

1. исходная структурная система уравнений преобразуется в систему приведённых уравнений. Используя ее МНК находим несмещённые оценки коэффициентов приведённой системы уравнений.
2. используя соотношение ((3), (4)) между коэффициентами приведённой системы уравнений и структурной системы уравнений находим коэффициенты структурной системы уравнений.

Если число коэффициентов приведённой системы уравнений равно числу коэффициентов исходной структурной системы уравнений, то система уравнений считается идентифицируемой.

Если число коэффициентов уравнений будет < числа коэффициентов структурной системы уравнений, то система уравнений является не идентифицируемой.

Если число коэффициентов приведённой системы уравнений > числа коэффициентов структурной системы уравнений, то в этом случае имеем сверх идентифицируемую систему уравнений. И эта система может быть несовместной.

При наличии ошибок измерения, если их причина заключается в том, что измеряемая переменная принципиально отличается от истинной объясняющей переменной в уравнении, то можно попытаться заменить её более подходящей переменой.

Для этой цели используем МИП, который заключается в частичной замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая существенным образом отражала воздействие на Y исходной объясняющей переменной, но не коррелированна со случайной составляющей.

Таким образом в практике возникают 2 случая необходимости использования МИП.

1. когда используемая объясняющая переменная может быть измерена с большими ошибками или вообще неизмерима и она заменяется другой объясняющей переменной.
2. если объясняющая переменная но коррелирует существенным образом со случайной составляющей.

В обоих случаях необходимо найти замену исходной объясняющей переменной и новая переменная должна:

а) коррелировать существенным образом с заменяемой объяснительной переменной

б) не коррелировать со случайной составляющей

y=α+β*x+U В качестве исходной переменной – x, заменяемой z.

В этом случае величина β инструментальных переменных определяется

βип= cov(y;z) / cov(x;z)

При больших выборках βип=cov(y;z) / cov(x;z) = сov[(α+β*x+u);z] / cov(x;z) =

=( cov(α;z) + cov(β-x;z) + cov(u;z) )/ cov(x;z) = β + (cov(u;z) / cov(x;z))

Для достаточно больших выборок cov(u;z) =>0 а cov (x;z), при условии, что x и z достаточно сильно коррелируют между собой, стремится к истинному значению.

Поэтому, чем выше корреляция между x и z тем выше будет совпадение оценок инструментальной переменой и обычного МНК.

Однако, если корреляция между x и z будет приближаться к 1 функциональной зависимости то есть опасность, что z начнёт коррелировать со случайной составляющей.