Система линейных одновременных уравнений СЛОУ (общие сведения)
При моделировании с использованием статистической информации часто необходимо отражать изучаемые процессы с помощью систем уравнений, в котором одни и те же переменные в различных уравнениях используются как объяснительные переменные. Такие системы принято называть СЛОУ
y1=α+β1x+β2x2+β3y2+Ui
{
y2=j +β4x1+β5y1+U2
В данные уравнения могут быть включены переменные не только текущего периода, но и переменные предшествующего периода
y1t=α+β1x1t+β2x2t
{
y2t=j +β3x1t+β4y1,t-1
Использование объясн. переменных в качестве объясняющих приводит к тому, что оценки параметров уравнения становятся смещенными => нельзя напрямую применить классический МНК.
Для примера рассмотрим простейшую кейнсианскую модель для замкнутой экономики.
Ct=α+βyt+Ut (2) Ct - V потребления
{ y - V дохода
yt=Ct+It (3) I – V инвестиций
Сt и yt выступают в роли объясняемой и объясняющих переменных
yt=α+βyt+It+Ut
yt=α/(1-β) + It/(1-β) + Ut/(1-β) (1)
Первые два слагаемых правой части показывают, что совокупный уровень доходов зависит от постоянной составляющей Vпотр и от Vинв. Если Vинв edtk yf 1? Nj cjukfcyj (1) Vдохода увел в k-раз больше – k=1/(1-β) , 0≤β≤1
мультипликатор
Кейнса
Если случайная составляющая по каким-либо причинам увеличится, т.е. увеличится Vпотр, это приведет к росту доходов в ещё большей пропорции и т.д. однако, если произойдёт снижение потребления, то это приведёт к лавинообразному снижению доходов. Таким образом величина y включает в себя случайную составляющую Ut/(1-β)
и автоматически коррелирует со случайной составляющей Ut. Это приводит к нарушению условий Гаусса-Маркова, а значит к смещению оценок параметров уравнения (2), найденное МНК. Это смещение для достаточно больших выборок определяется по следующей формуле: ∆β=(1-β)*σu2/(σi2+σu2) σu2 дисперсия случайной составляющей
σi2 дисперсия функции инвестиций
Т.к. 0≤β≤1, то (1-β)>0, а остальное положительное по определению, => смещение β будет положительно, т.е. возрастает. Чем > величина дисперсии случайной составляющей тем сильнее будет смещение.
14.2 Структурная и приведённая формы СЛОУ.
При оценивании параметров СЛОУ важно различать эндогенные и экзогенные переменные
Эндогенной считается та переменная, которая определяется внутри модели.
Экзогенными считаются те переменные, которые задаются из вне или берётся как заданная.
Такая классификация переменных позволяет выявить как действительно определяются эндогенные переменные. Например в уравнениях Ct=α+βyt+Ut (2) и yt=Ct+It (3) Ct определяется yt. и наоборот. Чтобы выявить от чего же все-таки зависит Ct ,преобразуем (2) путём подстановки yt и его значений
Сt=α+β*Ct+βIt+Ut
Ct=α/(1-β) +β*It/(1-β) +Ut/(1-β)
Из этого уравнения видно, что Сt определяется инвестициями и случайной составляющей. Исходные уравнения вида (2) и (3) называются структурными уравнениями и разделяются на поведенческие уравнения вида (2) которые отражают эмпирические связи между уравнениями; и уравнения –тождества вида (3).
Сt=α+β1*yt+β2*Ct-1+Ut
Yt=Ct+It
Ct=α+β1*Ct+β2*Ct-1+β1*It+Ut
Ct=α/(1-β) +β1*It/(1-β1) +β2*Ct-1/(1-β1)+Ut/(1-β1) – приведённое уравнение т.к. Сt-1 это предопределённая переменная.
Лаговые переменные и экзогенные переменные вместе составляют систему предопределённых переменных.