Соблюдение требований, которым должен удовлетворять ряд остатков.

1. Для проверки свойства случайности ряда остатков можно использовать критерий поворотных точек(пиков).Точка считается поворотной, если выполняются следующие условия:

или .

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости , т. е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства:

Квадратные скобки означают, что берется целая часть числа, заключенного в скобки.

Рисунок 4.1. – Предпосылки МНК

Если неравенство выполняется, то модель считается адекватной. Далее подсчитывается число поворотных точек p.

 

2. Для проверки равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю вычисляются среднее значение ряда остатков:

Если то считается, что модель не содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего.

Если , то проверяется нулевая гипотеза о равенстве нулю математического ожидания. Для этого вычисляют t-критерий Стьюдента по формуле:

где - стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка).

Значение t-критерия сравнивают с табличным . Если выполняется неравенство t>, то модель неадекватна по данному критерию.

 

3. Дисперсия уровней ряда остатков должна быть одинаковой для всех значений х_i (свойство гомоскедастичности). Если это условие не соблюдается , то имеет место гетероскедастичность.

Для оценки гетероскедастичности при малом объеме выборки можно использовать метод Гольдфельда-Квандта, суть которого заключается в том, что необходимо:

- расположить значения переменной х_i в порядке возрастания;

- разделить совокупность упорядоченных наблюдений на две группы;

- по каждой группе наблюдений построить уравнения регрессии;

- определить остаточные суммы квадратов для первой и второй групп по формулам:

; ;

Где n₁ – число наблюдений в первой группе;

n₂ – число наблюдений во второй группе _.

- рассчитать критерий F_расч=S₁: S₂ или F_расч=S₂: S₁ ( в числителе должна быть большая сумма квадратов).

При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности критерий F_расч будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы γ₁=n₁-m и γ₂=n-n₁-m для каждой остаточной суммы квадратов (где m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

Чем больше величина F_расч не превышает табличное значение F-критерия, тем больше нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

4. Проверку независимости последовательности остатков (отсутствие автокорреляции) осуществляют с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона. Он определяется по формуле:

.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина–Уотсона следующий: выдвигается гипотеза Но об отсутствии автокорреляции остатков; альтернативные гипотезы Н₁ и Н₁^* состоят соответственно в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются Критические значения критерия Дарбина-Уотсона d_L и d_u для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости g. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Вопрос о принятии или отклонении каждой из гипотез с вероятностью (1-g) рассматривается в соответствии с рис. 4.2.

Расчетное значение критерия сравнивается с нижним d_L и верхним d_u критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона.

Возможны следующие случаи:

1) если d<d_L, то гипотеза о независимости остатков отвергается и модель признается неадекватной по критерию независимости остатков;

2) если d_L<d<d_u (включая сами эти значения), то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод и нужно использовать дополнительный критерий, например первый коэффициент автокорреляции:

.

Если расчетное значение коэффициента по модулю меньше табличного значения r_1кр, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается;

Есть положительная автокорреляция остатков. Но отклоняется. С вероятностью Р=(1-a) принимается Н1

Зона неопре деленнос ти

Нет оснований отклонять Но (автокорреляция остатков отсутствует)

Зона неопре деленнос ти

Есть отрицательная автокорреляция остатков. Но отклоняется. С вероятностью Р=(1-a) принимается Н1

0 d_L d_u 2 4- d_u 4- d_L 4

Рисунок 4.2.– Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

3) если d_u<d<2, то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию;

4) если d>2, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков.

В этом случае расчетное значение критерия необходимо преобразовать по формуле d'=4-d и сравнить с критическим значением d', а не d.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция и r₁ ^ε = 1, то d = 0. если в остатках полная отрицательная автокорреляция и r₁ ^ε = -1, то d = 4. Таким образом, величина d изменяется в переделах: 0£ d £ 4.

5.Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения можно осуществить с помощью R/S- критерия, который определяется по формуле:

,

где - стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка).

Расчетное значение R/S-критерия сравнивают с табличными значениями(нижней и верхней границами данного отношения), и если значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае гипотеза принимается.

 

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем состоит спецификация модели множественной регрессии?

2. Сформулируйте требования, предъявляемые к факторам для включения их в модель множественной регрессии.

3. К каким трудностям приводит мультиколлинеарность факторов, включенных в модель, и как они могут быть разрешены?

4. Назовите методы устранения мультиколлинеарности факторов.

5. Что означает взаимодействие факторов и как оно может быть представлено графически?

6. Какой смысл приобретает åb_i в производных функциях и что означает åb_i > 1?

7. Какие коэффициенты используются для оценки сравнительной силы воздействия факторов на результат?

8. От чего зависит величина скорректированного индекса множественной корреляции?

9. Каково назначение частной корреляции при построении модели множественной регрессии?

10. Что такое частный F-критерий и чем он отличается от последовательного F-критерия?

11. Как связаны между собой t-критерий Стьюдента для оценки значимости b_i и частные F-критерии?

12. При каких условиях строится уравнение множественной регрессии с фиктивными переменными?

13. Как трактуются коэффициенты модели, построенной только на фиктивных переменных?

14. Сформулируйте основные предпосылки применения МНК для построения регрессионной модели.

15. В чем особенность моделирования разных видов показателей?

16. Насколько эконометрические модели применимы в прогнозировании социально-экономических процессов? Приведите пример.

17. Применение многофакторных моделей в анализе деятельности сельскохозяйственных предприятий и в прогнозировании