Кинематика гармонических колебаний

Определение ускорения свободного падения для Астрахани при помощи математического и физического маятников

 

Цель работы: изучение свободных колебаний на примере малых колебаний математического и физического маятников, определение ускорения свободного падения.

Оборудование: платформа на регулирующихся ножках, закрепленная на ней стойка со шкивом и угломерной шкалой на конце; закрепленные на платформе часы-таймер; математический маятник (планка (m = 30.7 г) с диском (m = 484.9 г) на конце), физический маятник (тяжелый стержень с отверстиями (m = 234.6 г, l = 340 мм)), пластмассовая втулка для фиксации маятников на оси.

Теоретическое введение

Колебания

Колебание – более или менее регулярно повторяющийся про­цесс. Таково качественное определение понятия «ко­лебание». Можно привести множество примеров колебательных процессов, относящихся к различным областям жизнедеятельности. Коле­блется маятник часов; колеблется груз, подвешенный на пружине; колеблет­ся взволнованная поверхность воды и гитарная струна; колеблется заряд на пластинах конденсатора и магнитное поле в катушке индуктивности коле­бательного контура; более или менее периодически изменяется температура воздуха (зимой холоднее - летом теплее) и количество автомобилей на улицах города (больше в часы пик — меньше поздней ночью); периодически меняется экономическая ситуация в жизни общества: кризисные явления сменяются подъемом экономики. Колеблется давление (или плотность воз­духа), вызывая колебания ушной мембраны – и мы слышим голоса окружающих.

Простейший вид колебательных движений – гармонические колебания.

Гармонические колебания

Кинематика гармонических колебаний

Гармоническими называют колебания, в которых интересу­ющая нас величина х (например, линейное или угловое смеще­ние из положения равновесия) изменяется со временем t по за­кону

, (1)

где a, ω, φ— константы. График функции (1) изображен на рис. 1. Она хороша, разумеется, не только потому, что имеет довольно простой математический вид. Более существенно то обстоятельство, что реальные колебания во многих физи­ческих системах зачастую очень хорошо описываются этой функцией, т. е. близки к гармоническим колебаниям. Легко проверить, что функция (1) является периодической, т. е. для лю­бого момента времени t имеет место равенство x(t) = x(t+T), где Т назы­вается периодом колебаний:

. (2)

Величина ω, с^-1называется циклической (круговой) частотой. Положительная константа а – амплитуда колебания (это максимальное отклонение величины x от равновесного значения x = 0). Аргумент косинуса в (1)– угол φ, выра­женный в радианах, называется фазой колебания:

, (3)

а значение φ при t = 0, т. е. величину α, называют начальной фазой. Соот­ношение (3) — это линейная связь между фазой колебания φ и круговой частотой ω, из которой следует . Круговая частота – это производная фазы φ по времени. Число колебаний в секунду называют линейной частотой (иногда просто частотой). Единица линейной частоты – Гц (герц). Очевидно,

(4)

(колебанию 1 герц соответствует изменение фазы – угла поворота, рав­ное 2πвсекунду). Обратите внимание на различие наименований циклической и линейной частот.

Продифференцировав (1) по времени, найдем скорость и ускорение :

, (5)

, (6)

Из этих выражений видно, что скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает смеще­ние х по фазе на , а ускорение – на , т. е. находится в про-тивофазе со смещением х. На рис. 1 приведены графики зави­симостей , и для случая α = 0.

Сопоставив (6) и (1), видим, что , или

. (7)

Это дифференциальное уравнение называют уравнением гармонического осциллятора. Его решение (1) со­держит две произвольные постоянные: а и α. Для каждого конкретного коле­бания они определяются начальными условиями — смещением х₀и скоро­стью в начальный момент t = 0:

, . (8)

Отсюда находим искомые постоянные:

, . (9)

Обычно рассматривают только значения α в интервале . Уравнение для удовлетворяется двумя значениями α в этом интервале. Из этих значений следует взять то, при ко­тором получаются правильные знаки у и в (8).